Question

Знайти екстремум функції.

Answer 1

Ответ:   $y_{\min} = e$

Объяснение:

Знайдіть екстремум функції

$y = \dfrac{x}{\ln x}$

Производная частного

$\displaystyle \bigg ( \frac{u}{v} \bigg )' = \frac{u ' v - u v'}{v^2}$ ⇒

$\displaystyle y' = \bigg ( \dfrac{x}{\ln x} \bigg ) ' = \dfrac{x'\cdot \ln x -x\cdot (\ln x)' }{\ln ^2x} = \frac{\ln x - x\cdot \dfrac{1}{x} }{\ln ^2x} = \frac{\ln x - 1}{\ln ^2x}$

ln x  - 1 = 0 ⇒ x = e
ln²x = 0 ⇒ x = 1

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(.965,-0.2) {\sf 1} \put(.2 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(.17 ,-0.2){ \Large \nearrow } \put(1.3 ,0.1){ \LARGE ---} \put(1.3 ,-0.2){ \Large \searrow } \put(2.25 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(2.25 ,-0.2){ \Large \nearrow } \put(2.02,-0.2) {\sf e}\put(2.05,0){\circle*{0.055}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Если производная меняет знак c «+» на «-» , то в данной точке будет максимум , если c «-» на «+», то минимум .

Следовательно данная функция имеет точку минимума $x_{\min } = e$, а ее экстремум

$y _{\min} = y (e)= \dfrac{e}{\ln e} = \dfrac{e}{1} =e$