Question

Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, щоб один із його
коренів дорівнював 1-√3 СРОЧНО ПЖ СОБЯСНЕНИЕМ

Answer 1

Ответ:

Искомое квадратное уравнение имеет вид: x²-2·x-2 = 0

Объяснение:

Требуется составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, чтобы один из его корней равнялся 1-√3.

Информация. Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения x²+p·x+q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному коэффициенту, то есть

$\tt \displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-p} \atop {x_1 \cdot x_2=q}} \right. .$

Решение. Применим теорему Виета когда x₁ = 1-√3:

$\tt \displaystyle \left \{ {{1-\sqrt{3} +x_2=-p} \atop {(1-\sqrt{3} ) \cdot x_2=q}} \right. .$

Отсюда видно, чтобы коэффициенты уравнения p и q были целыми второй корень x₂ должен содержат слагаемое √3. Учитывая формулу сокращённого умножения (a-b)·(a+b) = a²-b², заключаем второй корень равняется 1+√3, то есть x₂ = 1-√3. Тогда

$\tt \displaystyle \left \{ {{p=-(1-\sqrt{3}+ 1+\sqrt{3})=-2} \atop {q=(1-\sqrt{3} ) \cdot (1+\sqrt{3} )=1-3=-2}} \right. .$

Значит, искомое квадратное уравнение имеет вид:

x²-2·x-2 = 0

#SPJ1