Найти собственные значения и собственные вектора оператора А, заданного матрицей
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Собственные значения оператора А определяются из характеристического уравнения матрицы А: |A-λI|=0
Рассчитываем определитель матрицы А:
|A-λI|=(-12-λ)(-8-λ)(16-λ)(8+λ)(20-λ)-(-8)(-8)(16)(8)(20)
Упростим определитель:
|A-λI)=(λ^2-40)(λ^2-120)-640
Уравнение имеет два корня: λ=10 λ=12
Теперь найдем собственные вектора оператора А, соответствующие найденным собственным значения.
Для собственного значения λ=10 рассмотрим систему уравнений:
A(x)=10
(-12-10)x1-8x2-16x3=10x1
-8x1-(10-8)-x2-8x3=10x2
16x1-8x2+(10+8)x3=10x3
Решаем эту систему:
x1=0
x2=2
x3=-1
Cобственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ = 10, равен (0, 2, -1).
Для собственного значения λ = 12 рассмотрим систему уравнений:
A(x)=12x
(-12-12)x1-8x2-16x3=12x1
-8x1-(12-8)x2-8x3=12x2
16x1-8x2+(12+8)x3=12x3
Решаем эту систему: x1=1 x2=1 x3=1
Cобственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ = 12, равен (1, 1, 1).
Cобственные значения оператора А:
λ = 10
λ = 12
Собственные вектора оператора А:
(0, 2, -1)
(1, 1, 1)