Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и с осью Оу угол 60°. Длина его r= 6. Определить координаты точки М, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор OM =r через орты і, j, k.
Ответы
cosα=r/x
cosβ=r/y
cosγ=r/z
где α, β и γ - углы между вектором OM и осями Ox, Oy и Oz соответственно, а x, y и z - координаты точки M.
Из условия задачи мы знаем, что α=45°, β=60° и r=6. Тогда мы можем найти косинусы этих углов:
cos45°=√2/2
cos60°=1/2
Подставляя эти значения в формулы, мы получаем:
x=rcosα=6⋅√2/2=3√2
y=rcosβ=6⋅1/2=3
Теперь нам нужно найти координату z. Для этого мы можем воспользоваться тем фактом, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
cos²α+cos²B+cos²γ=1
Подставляя известные значения, мы получаем:
(√2/2)²+(1/2)²+cos²γ=1
cos²γ=1−(√2/2)²−(1/2)²
cos²γ=1−1/4-1/4-1/4
cos²γ=1/4
Так как по условию координата z отрицательна, то косинус угла γ тоже отрицательный. Поэтому мы берем отрицательный корень из cos²γ:
cosγ=-√1/4=−1/2
Тогда координата z равна:
z=rcosγ=6⋅(−1/2)=−3
Итак, мы нашли координаты точки M:
(x,y,z)=(3√2,3,−3)
Теперь мы можем выразить вектор OM через орты i, j, k. Для этого мы просто умножаем координаты на соответствующие единичные векторы:
OM=xi+yj+zk
OM=3√2i+3j−3k