Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через противоположные боковые ребра, равна 24 см2, а стороны основания – 3 и 4 см. Найдите:
а) угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания;
б) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через боковое ребро под углом 30° к большей боковой грани.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо угол нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини основи. Позначимо цей кут як α.
1. Знайдемо діагональ паралелепіпеда, використовуючи теорему Піфагора. Основа паралелепіпеда - прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, тому діагональ основи:
d₁ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.
2. Тепер, знаючи діагональ основи, ми можемо знайти площу сечення паралелепіпеда площиною, яка проходить через протилежні бокові ребра. Площа сечення дорівнює 24 см².
3. Тепер знайдемо косинус кута α між діагоналлю основи та діагоналлю сечення. Можна використовувати відомі значення:
cos(α) = (площа сечення) / (площа прямокутника зі сторонами d₁ і h),
де h - висота паралелепіпеда вздовж діагоналі основи.
cos(α) = 24 / (5 * h).
4. Також ми знаємо, що висота паралелепіпеда h дорівнює одній зі сторін основи. Ми можемо взяти будь-яку сторону основи, оскільки вони всі різні. Нехай h = 3 см (оскільки одна зі сторін основи дорівнює 3 см).
cos(α) = 24 / (5 * 3) = 24 / 15 = 8 / 5.
5. Тепер знайдемо кут α, використовуючи арккосинус:
α = arccos(8 / 5) ≈ 53.13 градуси.
Отже, угол нахилу діагоналі паралелепіпеда до площини основи близький до 53.13 градусів.
Тепер перейдемо до обчислення площі сечення паралелепіпеда площиною, яка проходить через бокове ребро під кутом 30 градусів до більшої бокової грані.
а) Спочатку знайдемо довжину цього бокового ребра. Це можна зробити, використовуючи тригонометричні відношення. Оскільки ми вже знаємо кут α, можемо використати косинус:
cos(α) = adjacent / hypotenuse,
де adjacent - прилегла сторона, hypotenuse - гіпотенуза.
adjacent = cos(α) * hypotenuse,
adjacent = (8/5) * 3 см ≈ 4.8 см.
б) Тепер знайдемо площу сечення паралелепіпеда. Площа сечення паралелепіпеда під кутом 30 градусів до більшої бокової грані буде дорівнювати:
Площа = 4.8 см * 3 см = 14.4 см².