используя метод замены переменной: f x*√x + 3dx
b) Вычислите площадь криволинейной трапеции, показанной на графике, ограниченной линиями:
х- -1 их-1.
c) Вычислите объем заштрихованной фигуры, с условием, что вращать ее нужно вокруг оси ОХ.
если х- 0 их=1. Срочноорррр
Ответы
Ответ:a) Для вычисления интеграла ∫(x*√x + 3) dx, используем метод замены переменной. Давайте введем новую переменную u, где u = √x. Тогда dx = 2u du. Теперь мы можем переписать интеграл:
∫(x√x + 3) dx = ∫(u^2u + 3) * 2u du
= 2∫(u^3 + 3u) du
= 2(∫u^3 du + ∫3u du)
= 2(1/4u^4 + 3/2u^2) + C
Теперь вернемся к исходной переменной x. У нас была замена u = √x, поэтому u^2 = x. Заменяя обратно, получаем:
2(1/4u^4 + 3/2u^2) + C = 2(1/4x^2 + 3/2x) + C
= (1/2*x^2 + 3x) + C
Итак, интеграл ∫(x√x + 3) dx равен (1/2x^2 + 3x) + C, где C - произвольная постоянная.
b) Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = -1 и x = 1, мы должны найти интеграл функции |x*√x + 3| на интервале [-1, 1]. Модуль берется, так как функция может принимать отрицательные значения на этом интервале.
Площадь S равна:
S = ∫[1, -1] |x*√x + 3| dx
Используя результат из пункта (a), интеграл будет:
S = ∫[-1, 1] |(1/2*x^2 + 3x)| dx
Теперь вычислим этот интеграл:
S = ∫[-1, 1] (1/2*x^2 + 3x) dx
S = [1/6x^3 + 3/2x^2] от -1 до 1
S = [(1/61^3 + 3/21^2) - (1/6*(-1)^3 + 3/2*(-1)^2)]
S = [(1/6 + 3/2) - (-1/6 + 3/2)]
S = [(4/6 + 9/6) - (-1/6 + 9/6)]
S = (13/6 - 8/6)
S = 5/6
Итак, площадь криволинейной трапеции равна 5/6.
c) Для вычисления объема фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции из пункта (b) вокруг оси Ox, мы можем использовать метод цилиндров. Объем V такой фигуры равен:
V = ∫[-1, 1] π*(x*√x + 3)^2 dx
Используем результат из пункта (a):
V = ∫[-1, 1] π*((1/2*x^2 + 3x)^2) dx
Теперь вычислим этот интеграл:
V = π∫[-1, 1] (1/4x^4 + 3x^3 + 9/4x^2) dx
V = π*[1/20x^5 + 3/4x^4 + 3/4*x^3] от -1 до 1
V = π*[(1/201^5 + 3/41^4 + 3/41^3) - (1/20(-1)^5 + 3/4*(-1)^4 + 3/4*(-1)^3)]
V = π*[(1/20 + 3/4 + 3/4) - (-1/20 - 3/4 - 3/4)]
V = π*[(8/20 + 6/4) - (-8/20 - 6/4)]
V = π*[(2/5 + 3/2) - (-2/5 - 3/2)]
V = π*[4/10 + 15/10 + 4/10 + 15/10]
V = π*(43/10)
Итак, объем фигуры, полученной вращением криволинейной т
Объяснение:все расписал