материальная точка s (t)= -t^4/2+12t^3 движется по прямой согласно закону движению s (t)= -t^4/4+5t^3. пусть t измеряется в секундах, а s (t)-в метрах
Найдите:
1) Момент времени t0, при котором ускорение максимально
2)Мгновенную скорость в момент времени t0
3)Путь, пройденный за время t0
Ответы
Объяснение:
1) Чтобы найти момент времени t₀, при котором ускорение максимально, необходимо найти производную второго порядка от функции положения s(t) и приравнять ее к нулю.
s(t) = -t^4/2 + 12t^3
Ускорение a(t) равно второй производной s(t) по времени:
a(t) = d²s(t)/dt²
Вычислим:
a(t) = d²/dt² (-t^4/2 + 12t^3)
Для этого сначала найдем первую производную:
v(t) = ds(t)/dt = d/dt (-t^4/2 + 12t^3)
v(t) = -2t³ + 36t²
Затем найдем вторую производную:
a(t) = dv(t)/dt = d/dt (-2t³ + 36t²)
a(t) = -6t² + 72t
Теперь найдем t₀, при котором a(t₀) = 0:
-6t₀² + 72t₀ = 0
Разделим это уравнение на 6:
t₀² - 12t₀ = 0
t₀(t₀ - 12) = 0
Отсюда получаем два значения: t₀ = 0 и t₀ = 12.
2) Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени t₀, необходимо вычислить первую производную функции положения s(t) и подставить в нее значение t₀:
v(t₀) = ds(t)/dt | t = t₀
v(t₀) = d/dt (-t^4/4 + 5t^3) | t = t₀
v(t₀) = -4t₀³ + 15t₀²
Подставляем t₀ = 12:
v(t₀) = -4(12)³ + 15(12)²
3) Чтобы найти путь, пройденный за время t₀, необходимо вычислить интеграл скорости от t = 0 до t = t₀:
s(t) = ∫[0 to t₀] v(t) dt
s(t₀) = ∫[0 to t₀] (-4t³ + 15t²) dt
Для вычисления этого интеграла требуется конкретное значение t₀.