Question

Розв'яжіть систему рівнянь

Answer 1

Ответ:

Пара (2; 1) - решение системы $\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {lg(2 \cdot x-y)+1=lg(y+2 \cdot x)+lg6}} \right.$

Объяснение:

Требуется решить систему уравнений

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {lg(2 \cdot x-y)+1=lg(y+2 \cdot x)+lg6}} \right. .$

Информация:

$\tt a > 0, \; b > 0:\\\\1) \; lga+lgb=lg(a \cdot b);\\\\2) \; lga=lgb \Rightarrow a=b.$

Решение. Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

$\tt \displaystyle \left \{ {{2 \cdot x-y > 0} \atop {y+2 \cdot x > 0}} \right..$

Упростим второе уравнение системы применим метод подстановки.

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {lg(2 \cdot x-y)+lg10=lg(y+2 \cdot x)+lg6}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {lg((2 \cdot x-y) \cdot 10)=lg((y+2 \cdot x) \cdot 6)}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {(2 \cdot x-y) \cdot 10=(y+2 \cdot x) \cdot 6}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {20 \cdot x-10 \cdot y=6 \cdot y+12 \cdot x}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {8 \cdot x = 16 \cdot y}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{x-y}+2^{y-x}=2,5} \atop {x = 2 \cdot y}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{2 \cdot y-y}+2^{y-2 \cdot y}=2,5} \atop {x = 2 \cdot y}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{2^{y}+2^{-y}=2,5} \atop {x = 2 \cdot y}} \right.$

Теперь решаем первый из уравнений методом замены переменных.

$\tt \displaystyle t=2^{y} > 0: \\\\ t+t^{-1}=2,5$

$\tt \displaystyle t^2-2,5 \cdot t+1=0$

$\tt \displaystyle t^2-2 \cdot t-0,5 \cdot t+1=0 \\\\(t-2) \cdot t-0,5 \cdot (t-2) = 0 \\\\(t-2) \cdot (t-0,5) = 0 \\\\t_1=2, \; t_2=0,5.$

$\tt \displaystyle 2^{y_1} =2 \Rightarrow y_1=1, \; 2^{y_2} =0,5 \Rightarrow y_2=-1.$

Из второго уравнения определим x:

x₁ = 2·1 = 2, x₂ = 2·(-1) = -2.

Получили следующие пары: (2; 1) и (-2; -1). Так как неверно

$\tt \displaystyle \left \{ {{2 \cdot (-2)-(-1) > 0} \atop {-1+2 \cdot (-2) > 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{-3 > 0} \atop {-5 > 0}} \right. ,$

то пара (-2; -1) не принадлежит ОДЗ.

Проверим ОДЗ для пары (2; 1):

$\tt \displaystyle \left \{ {{2 \cdot 2-1 > 0} \atop {1+2 \cdot 2 > 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{3 > 0} \atop {5 > 0}} \right.$

верно. значит пара (2; 1) - решение системы.

#SPJ1