З урни, у якій 4 білих, 5 червоних, 2 синіх та 3 жовтих кульки послідовно та без повернення виймають 3 кульки. Знайти ймовірність подій:
Третя кулька жовта
Перша та друга кульки сині
Не більше 2 білих кульок
Є хоча б одна жовта і хоча б одна синя Серед кульок є 1 червона і немає синіх
Ответы
Ответ:
Давайте розглянемо ці події:
1. **Третя кулька жовта:**
Є 3 жовті кульки серед 14 загальних. Таким чином, ймовірність витягнути жовту кульку на третій спробі:
(3 жовті кульки / 14 загальних) * (3 жовті кульки / 13 залишених) * (2 жовті кульки / 12 залишених) = (3/14) * (3/13) * (2/12) = 18 / 2184 = 1 / 121.
2. **Перша та друга кульки сині:**
Є 2 сині кульки серед 14 загальних. Таким чином, ймовірність витягнути синю кульку на першій спробі:
(2 сині кульки / 14 загальних) * (1 синя кулька / 13 залишених) = (2/14) * (1/13) = 2 / 182.
3. **Не більше 2 білих кульок:**
Це означає, що ми можемо витягнути 0 білих, 1 білу або 2 білі кульки. Роздімо це на окремі ймовірності та додаймо їх разом.
- ймовірність витягнути 0 білих кульок:
(9 не-білих кульок / 14 загальних) * (8 не-білих кульок / 13 залишених) * (7 не-білих кульок / 12 залишених) = (9/14) * (8/13) * (7/12).
- ймовірність витягнути 1 білу кульку:
(4 білі кульки / 14 загальних) * (10 не-білих кульок / 13 залишених) * (9 не-білих кульок / 12 залишених) = (4/14) * (10/13) * (9/12).
- ймовірність витягнути 2 білі кульки:
(4 білі кульки / 14 загальних) * (3 білі кульки / 13 залишених) * (11 не-білих кульок / 12 залишених) = (4/14) * (3/13) * (11/12).
Зараз додаймо ці ймовірності разом: (9/14) * (8/13) * (7/12) + (4/14) * (10/13) * (9/12) + (4/14) * (3/13) * (11/12).
4. **Є хоча б одна жовта і хоча б одна синя:**
Це означає, що ми можемо витягнути жовту і синю кульки на будь-яких двох спробах, і можливо і на третій. Ми також розділимо це на окремі ймовірності і додамо їх разом.
- ймовірність витягнути жовту і синю кульки на першій і другій спробах (без заміни):
(3 жовті кульки / 14 загальних) * (2 сині кульки / 13 залишених).
- ймовірність витягнути жовту і синю кульки на третій спробі:
(3 жовті кульки / 14 загальних).
Зараз додаймо ці ймовірності разом: (3/14) * (2/13) + (3/14).
5. **Серед кульок є 1 червона і немає синіх:**
Ми шукаємо ймовірність витягнути червону кульку, але не синю. Знайдемо цю ймовірність.
- ймовірність витягнути червону на першій спробі:
(1 червона кулька / 14 загальних).
- ймовірність не витягнути синю на другій спробі:
(11 не-синіх кульок / 13 залишених).
Зараз перемножимо ці ймовірності: (1/14) * (11/13).
З цими розрахунками ви можете знайти ймовірності кожної з подій.