Помогите решить систему уравнений с факториалом C сверху n снизу m равно C сверху n+1 снизу m
A сверху 2 снизу m равно 20
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
C(n, m) = C(n + 1, m)
C(2, m) = 20
Где C(n, m) - биномиальный коэффициент C сверху n снизу m, который равен n! / (m! * (n - m)!), где "!" обозначает факториал числа.
Давайте начнем с уравнения 2:
C(2, m) = 20
Сначала найдем C(2, m):
C(2, m) = 2! / (m! * (2 - m)!)
Теперь давайте рассмотрим возможные значения m, которые удовлетворяют этому уравнению.
m = 0:
C(2, 0) = 2! / (0! * (2 - 0)!) = 2 / (1 * 2) = 1
m = 1:
C(2, 1) = 2! / (1! * (2 - 1)!) = 2 / (1 * 1) = 2
m = 2:
C(2, 2) = 2! / (2! * (2 - 2)!) = 1 / (2 * 1) = 1/2
Таким образом, у нас есть три возможных значения m: m = 0, m = 1 и m = 2, которые удовлетворяют уравнению 2.
Теперь перейдем к уравнению 1:
C(n, m) = C(n + 1, m)
Давайте рассмотрим каждое из найденных значений m по очереди.
Для m = 0:
C(n, 0) = C(n + 1, 0)
Используя определение биномиального коэффициента, у нас есть:
n! / (0! * (n - 0)!) = (n + 1)! / (0! * (n + 1 - 0)!)
n! / (n!) = (n + 1)! / (n + 1)!
Упрощая, получим:
1 = (n + 1) / (n + 1)
Уравнение выполняется для любого значения n.
Для m = 1:
C(n, 1) = C(n + 1, 1)
Используя определение биномиального коэффициента, у нас есть:
n! / (1! * (n - 1)!) = (n + 1)! / (1! * (n + 1 - 1)!)
n! / (1 * (n - 1)!) = (n + 1)! / (1 * n!)
n = (n + 1)
n - n = 1
0 = 1
Это уравнение не имеет решений.
Для m = 2:
C(n, 2) = C(n + 1, 2)
Используя определение биномиального коэффициента, у нас есть:
n! / (2! * (n - 2)!) = (n + 1)! / (2! * (n + 1 - 2)!)
n! / (2 * (n - 2)!) = (n + 1)! / (2 * (n - 1)!)
Упрощая, получим:
n! / (n - 2)! = (n + 1)! / (n - 1)!
Умножим обе стороны на (n - 2)!:
n! = (n + 1)! / (n - 1)!
Перепишем (n + 1)! как (n + 1) * n!:
n! = [(n + 1) * n!] / (n - 1)!
Сократим n! на обеих сторонах:
1 = (n + 1) / (n - 1)
n - 1 = n + 1
n = 0
Таким образом, уравнение имеет одно решение n = 0.
Итак, система уравнений имеет два решения:
Для m = 0, любое значение n удовлетворяет уравнению.
Для m = 2, решение n = 0.