Предмет: Алгебра, автор: mishanyaumbrella

Даю 50 баллов помогите пожалуйста

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Bess1996

1)x^{3} + 4x^{2} = 9x + 36

Вынесем в левой части уравнения за скобки общий множитель у обоих слагаемых - х, а в правой части вынесем за скобки число 9, получим:

x*(x^{2} + 4x) = 9*(x+4)

Можем видеть что в левой части уравнения мы можем также вынести еще раз x, получим:

x*x*(x+4) = 9*(x+4)

x^{2}*(x+4) = 9*(x+4)

Мы получили общую скобку - (x+4), на которую умножается левая часть уравнения и правая часть. Перенесем в левую часть всё из правой через знак "=" со сменой знака (правая часть уравнения была положительной, поэтому при переносе меняется на отрицательную):

x^{2}*(x+4) - 9*(x+4) = 0

Так как мы перенесли всё из правой части, то там ничего не осталось, т.е. остался 0.

Мы можем видеть, что у нас есть общая скобка (общий множитель который является выражением в скобке) - (x+4).

Вынесем этот общий множитель за скобку:

(x+4)*(x^{2} - 9) = 0

Мы получили уравнение из 2 множителей, произведение которых равно 0.

Для того чтобы произведение чисел было равно 0, нужно чтобы хотя бы 1 из множителей был равен 0, также оба множителя могут быть равны 0, поэтому приравняем эти множители к 0 соответственно:

1ый множитель - (x+4), 2ой множитель - (x^{2} - 9).

x+4 = 0

x_{1} = -4

x^{2} - 9 = 0

Формула сокращенного умножения: a^{2} - b^{2} = (a-b)*(a+b). Можно решить с помощью нее, получаем:

x^{2} - 9 = 0

(x-3)*(x+3) = 0

Та же ситуация, что и была раннее с произведением которое равно 0, поэтому решаем аналогично:

x-3 = 0

x_{2} = 3

x+3 = 0

x_{3} = - 3

Мы получили, что решениями всего уравнения x^{3} + 4x^{2} = 9x + 36 являются числа -4, -3, 3.

2) x^{3} = x^{2} + 6x

Перенесем всё из правой части уравнения в левую:

x^{3} - x^{2} - 6x = 0

В правой части уравнения ничего не осталось, значит остался 0.

Как мы видим в уравнении у каждого из слагаемых есть общий множитель - x , покажем это более подробно:

x*x^{2} - x*x - 6*x = 0

Вынесем x за скобку:

x*(x^{2} - x - 6) = 0

У нас 2 множителя, произведение которых равно 0, поэтому приравняем каждый из этих множителей к 0. ( т.к. 0 * (любое число) = 0 и 0 * 0 = 0 ):

$x__{1} = 0$

1ое решение ур-ия (уравнения)

x^{2} - x - 6 = 0

Это квадратное уравнение, его вид ax^{2} + bx + c = 0, для нашего уравнения a = 1, b = - 1, c = -6.

D = b^{2} - 4*a*c = 1 - 4*1*(-6) = 1+24 = 25 = 5^{2}

$x_{2} = \frac{-b+\sqrt{D}}{2*a} = \frac{1+\sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2}= \frac{6}{2} = 3$

$x_{3} = \frac{-b-\sqrt{D}}{2*a} = \frac{1-\sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2}= \frac{-4}{2} = -2$

$x_{2} = 3$

$x_{3} = -2$

3) (x-4)^{2} + (x+9)^2 = 2*x^{2}

Здесь есть формулы сокращенного умножения, если не помнишь их, можно расписать самому(-ой) перемножив скобки друг на друга, но лучше выучить: (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Зная эти формулы раскроем скобки:

x^{2} - 2*4*1*x + 4^{2} + x^{2} + 2*9*1*x + 9^{2} = 2*x^{2}

x^{2} - 8x + 16 + x^{2} + 18x + 81 = 2x^{2}

x^{2} - 8x + 16 + x^{2} + 18x + 81 - 2x^{2} = 0

10x + 97 = 0

10x = - 97

x = -97:10

x = -9,7

4) (x-2)^{2}*(x-3) = 12*(x-2)

В этом уравнении можем видеть общий множитель для левой и правой части - (x-2).

(x-2)^{2}*(x-3) - 12*(x-2) = 0

(x-2) * ((x-2)*(x-3) - 12) = 0

x - 2 = 0

x_1 = 2

(x-2)*(x-3) - 12 = 0

x^{2} - 3x-2x+ 6 - 12 = 0

x^{2} - 5x - 6 = 0

Квадратное уравнение, коэффициенты которого a = 1; b = -5; c = -6.

Также это квадратное уравнение называется приведенным, т.к. а=1, поэтому легко можем воспользоваться теоремой Виета, где справедливы формулы:

x_2+x_3 = -b

x_2*x_3 = c

Получаем для нашего уравнения следующую систему уравнений:

x_2+x_3 = 5

x_2*x_3 = -6

Подбираем x_2 и x_3 такие, чтобы решить эти 2 уравнения и получаем:
$x_2 = 6$

$x_3 = -1$ , что подходит.

5) (x-3)*(x-4)*(x-5) = (x-2)*(x-4)*(x-5)

(x-3)*(x-4)*(x-5) - (x-2)*(x-4)*(x-5) = 0

Как можем видеть, общий множитель для этих 2ух слагаемых - (x-4)*(x-5), вынесем его за скобки, получим:

(x-4)*(x-5)*(x-3- (x-2)) = 0

(x^{2}-5x-4x+20)*(x-3-x+2) = 0

(x^{2}-9x+20)*(-1) = 0

-x^{2}+9x-20 = 0

Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант.

a = -1; b=9; c=-20;

D = 9^{2} - 4*(-1)*(-20) = 81 - 80 = 1

$x_1 = \frac{-9+1}{-2}= \frac{-8}{-2} = 4$

$x_2 = \frac{-9-1}{-2}= \frac{-10}{-2} = 5$

x_1 = 4

x_2 = 5

6) (x+10)^{2} = (5-x)^{2}

В данном примере также потребуется знание формул сокращенного умножения. a^{2} - b^{2} = (a-b)*(a+b).

(x+10)^{2} - (5-x)^{2} = 0

(x+10- (5-x))*(x+10 + (5-x))= 0

(x+10-5+x)*(x+10+5-x)=0

(2x+5)*(15) = 0

Разделим все наше ур-ие на 15:

2x+5 = 0

2x = -5

x = -2,5

7) x*(x^{2} + 2x + 1) = 6*(x+1)

В левой части уравнения можем увидеть, что скобка содержит в себе формулу квадрата - $(x+1)^2 = x^{2} + 2*1*x + 1 = x^{2} + 2x + 1$ , что полностью совпадает с нашей скобкой, поэтому заменим ее: