Доведіть, що сума медіан трикутника менша периметра, але більша півпериметра трикутника.
Ответы
Доведення:
Нехай ABC - довільний трикутник, а AD, BE і CF - його медіани.
Перше твердження: Сума медіан трикутника менша периметра.
Доведемо це твердження методом суперпозиції. Розглянемо трикутник ADE, який є рівнобедреним, оскільки AD є медіаною. Тоді його периметр дорівнює 2⋅AD+DE=2⋅AD+2AB=3⋅AD.
Аналогічно, периметри трикутників BEB і CFB дорівнюють 3⋅BE і 3⋅CF відповідно.
Тоді периметр трикутника ABC дорівнює 3⋅AD+3⋅BE+3⋅CF=9⋅(AD+BE+CF).
Оскільки сума медіан трикутника дорівнює AD+BE+CF, то 9⋅(AD+BE+CF)>(AD+BE+CF), що означає, що сума медіан трикутника менша периметра.
Друге твердження: Сума медіан трикутника більша півпериметра.
Доведемо це твердження методом віднімання. Сума медіан трикутника дорівнює AD+BE+CF.
Півпериметр трикутника дорівнює 2AB+BC+AC.
Тоді AD+BE+CF−2AB+BC+AC=2AB+BC+AC−2AB+BC+AC+AD+BE+CF=AD+BE+CF−AB−BC−AC.
Оскільки AD+BE+CF - це сума медіан трикутника, то вона більша або дорівнює 0.
А оскільки AB+BC+AC - це периметр трикутника, то він також більший або дорівнює 0.
Тоді AD+BE+CF−AB−BC−AC також більший або дорівнює 0.
Отже, сума медіан трикутника більша півпериметра.
Висновок: Сума медіан трикутника менша периметра, але більша півпериметра.
Додаткове пояснення:
Сума медіан трикутника є геометричною середньою від сторін трикутника, а півпериметр трикутника є середньою арифметичною від сторін трикутника. Тому сума медіан трикутника завжди буде меншою або дорівнювати півпериметру.
Крім того, сума медіан трикутника завжди буде більшою або дорівнювати 0, оскільки медіана трикутника є відрізком, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.