помогите пожалуйста даю 50 баллов!!!
4. На дошці записано вираз * п * n² *n3 *n4 *n5 * n6 * n7 * n8. Андрiйко та Оксанка грають у таку гру. Вони роблять ходи по черзі. За один хід дозволяється замінити один знак «*» на знак «+» або «-». Оксанка прагне, щоб отриманий після восьми ходів вираз ділився без остачі на 6 для кожного натурального п. Андрійко ходить першим. Доведіть, що Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу за умови будь-яких дій Андрійка.
Ответы
Ответ:
Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу за будь-яких дій Андрійка.
Пошаговое объяснение:
Доведемо, що Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу.
Зауважимо, що якщо вираз p * n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸ ділиться без остачі на 6, то кожен з множників p, n², n³, n⁴, n⁵, n⁶, n⁷, n⁸ також повинен ділитися на 6 без остачі.
Припустимо, що Оксанка завжди робить такий хід, щоб замінити знак "*" на знак "+". Тоді після першого ходу Оксанки вираз буде мати вигляд p + n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸.
Знаючи, що p повинно ділитися на 6 без остачі, ми можемо записати p = 6k, де k є натуральним числом. Підставимо це у вираз:
6k + n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸.
Звернімо увагу, що кожен з множників n², n³, n⁴, n⁵, n⁶, n⁷, n⁸ також повинен ділитися на 6 без остачі. Тому ми можемо записати кожен з цих множників у вигляді 6m, де m є натуральним числом. Підставимо це у вираз:
6k + (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m).
Зведемо це до спільного множника:
6k + (6^7) * (m^8).
Отримали вираз, що складається з двох доданків. Перший доданок 6k ділиться на 6 без остачі, оскільки містить множник 6. Другий доданок (6^7) * (m^8) також ділиться на 6 без остачі, оскільки (6^7) містить множник 6.
Таким чином, після кожного ходу Оксанки вираз залишається дільним на 6 без остачі. Оскільки Оксанка завжди може замінити "*" на "+", вона завжди може забезпечити, що після восьми ходів отриманий вираз ділитиметься на 6 без остачі.