Question

Даны точки A(1;1), В(2;3), С(0;4) и D(-1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD - квадрат.

Answer 1

Для доказательства, что четырехугольник ABCD - квадрат, нам нужно убедиться, что он является параллелограммом с четырьмя равными сторонами и прямыми углами. Для этого мы можем использовать координаты вершин четырехугольника.

1. Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Для AB: AB = √((2 - 1)^2 + (3 - 1)^2) = √(1^2 + 2^2) = √5
Для BC: BC = √((0 - 2)^2 + (4 - 3)^2) = √((-2)^2 + 1^2) = √5
Для CD: CD = √((-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2) = √(1^2 + (-2)^2) = √5
Для DA: DA = √((1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2) = √(2^2 + (-1)^2) = √5

2. Теперь давайте убедимся, что углы ABC, BCD, CDA и DAB являются прямыми углами. Мы можем использовать наклонные коэффициенты прямых, проходящих через соседние вершины, чтобы проверить, что они взаимно перпендикулярны.

- Прямая AB имеет наклонный коэффициент (наклон) 2/1.
- Прямая BC имеет наклонный коэффициент (наклон) (3 - 4)/(2 - 0) = (-1)/2 = -1/2.
- Прямая CD имеет наклонный коэффициент (2 - 4)/(-1 - 0) = (-2)/(-1) = 2.
- Прямая DA имеет наклонный коэффициент (1 - 2)/(-1 - 1) = (-1)/(-2) = 1/2.

Продукты наклонных коэффициентов соседних сторон равны:
(2/1) * (-1/2) * 2 * (1/2) = -1.

Поскольку произведение наклонных коэффициентов равно -1, это говорит нам о том, что прямые взаимно перпендикулярны, и углы в вершинах четырехугольника ABCD действительно прямые углы.

Таким образом, мы убедились, что ABCD - квадрат, так как он имеет четыре равные стороны и прямые углы.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD - квадрат, нам нужно проверить, что все его стороны равны и углы прямые. Для этого давайте сначала найдем длины сторон:

Длина стороны AB:

AB = √((2 - 1)² + (3 - 1)²) = √(1² + 2²) = √5

Длина стороны BC:

BC = √((0 - 2)² + (4 - 3)²) = √((-2)² + 1²) = √5

Длина стороны CD:

CD = √((-1 - 0)² + (2 - 4)²) = √((-1)² + (-2)²) = √5

Длина стороны DA:

DA = √((1 - (-1))² + (1 - 2)²) = √(2² + (-1)²) = √5

Теперь давайте проверим, что углы прямые:

Угол между AB и BC:

Вектор AB = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)

Вектор BC = (0 - 2, 4 - 3) = (-2, 1)

ABBC = 1(-2) + 2*1 = -2 + 2 = 0

Угол между BC и CD:

Вектор BC = (-2, 1)

Вектор CD = (-1 - 0, 2 - 4) = (-1, -2)

BCCD = (-2)(-1) + 1*(-2) = 2 - 2 = 0

Угол между CD и DA:

Вектор CD = (-1, -2)

Вектор DA = (1 - (-1), 1 - 2) = (2, -1)

CD*DA = (-1)2 + (-2)(-1) = -2 + 2 = 0

Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой, и углы между смежными сторонами равны 90 градусов. Следовательно, четырехугольник ABCD - квадрат.

Лучший ответ пожалуйста)