Допоможіть вирішити, будь ласка
1) Функція f і оборотна функція g є такими, що для всіх
x ∈ R виконується рівність f (f (x)) = g (x). Доведіть, що f — оборотна функція.
2) Знайдіть усі функції f такі, що для будь-яких x ∈ R, y ∈ R
виконується рівність xf(f(x)-2y)=9x(x-y)+yf(x).
Ответы
Ответ:
1) Для доведення, що f є оборотною функцією, нам потрібно показати, що існує така оборотна функція g, для якої виконується f(f(x)) = g(x), і що g є оборотною функцією.
Почнемо з рівності f(f(x)) = g(x). Тепер давайте обчислимо f(x) з цієї рівності, використовуючи оборотну функцію g: f(x) = g(f(f(x))).
Тепер ми знаємо, що f(x) = g(f(f(x))). Але g(x) - це оборотна функція f. Тобто g(g^(-1)(x)) = x для всіх x. Тому ми можемо замінити g(f(f(x))) на x в попередній рівності:
f(x) = g(f(f(x))) = g(x).
Отже, ми показали, що f(x) = g(x), що означає, що f - оборотна функція.
2) Щоб знайти всі функції f, для яких виконується дана рівність, спробуємо розв'язати її для f(x). Рівність має вигляд:
xf(f(x) - 2y) = 9x(x - y) + yf(x).
Спростимо це вираз:
xf(x) - 2xy = 9x(x - y) + yf(x).
Тепер розкриваємо дужки і групуємо подібні члени:
xf(x) - yf(x) - 2xy + 9x^2 - 9xy = 0.
Після групування:
(x - y)(f(x) + 9x) = 2xy - 9x^2.
Тепер вираз f(x) = ... містить дві змінні x та y. Щоб знайти всі можливі функції f, нам потрібно визначити, які функції f(x) можуть відповідати цій рівності для будь-яких x та y. це може бути нетривіальним завданням, і відповідь може включати безліч різних функцій f(x).