Решите задачу с помощью системы уравнений. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 14 см, а его гипотенуза - 10 см. Найдите катеты треугольника.
Ответы
Ответ:
Давайте обозначим катеты треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как (c).
У нас есть два условия:
1. Сумма катетов равна 14 см: \(a + b = 14\).
2. Гипотенуза равна 10 см: \(c = 10\).
Тепер мы можем решить эту систему уравнений. Поскольку это прямоугольный треугольник, мы также можем использовать теорему Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Подставим \(c = 10\) в это уравнение:
\[10^2 = a^2 + b^2\]
\[100 = a^2 + b^2\]
Тепер у нас есть система уравнений:
1. \(a + b = 14\)
2. \(a^2 + b^2 = 100\)
Сначала решим уравнение (1) относительно \(a\):
\(a = 14 - b\)
Тепер подставим это значение в уравнение (2):
\((14 - b)^2 + b^2 = 100\)
Раскроем квадрат:
\(196 - 28b + b^2 + b^2 = 100\)
Сгруппируем члены:
\(2b^2 - 28b + 196 = 100\)
Вычтем 100 с обеих сторон:
\(2b^2 - 28b + 96 = 0\)
Разделим все коэффициенты на 2:
\(b^2 - 14b + 48 = 0\)
Тепер мы можем решить это квадратное уравнение. Разложим его на множители:
\((b - 12)(b - 2) = 0\)
Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(b\):
1. (b - 12 = 0), отсюда(b = 12).
2. (b - 2 = 0), отсюда (b = 2).
Тепер найдем соответствующие значения для \(a\), используя уравнение \(a = 14 - b\):
1. Для \(b = 12\), \(a = 14 - 12 = 2\).
2. Для \(b = 2\), \(a = 14 - 2 = 12\).
Таким образом, катеты треугольника равны 2 см и 12 см.
Пошаговое объяснение: