Розв'язати нерівність:
1) (3x-12)(x+5)<0
2) (х-7)(2х+10)(x+1)
___________
х²-4 > 0.
Ответы
Пошаговое объяснение:
Давайте розв'яжемо обидві нерівності окремо:
(3x - 12)(x + 5) < 0
Спершу знайдемо критичні точки, де вираз у дужках рівний нулю:
3x - 12 = 0 => x = 4
x + 5 = 0 => x = -5
Зараз ми маємо три інтервали на числовій прямій: (-безмежність, -5), (-5, 4), (4, +безмежність).
Проведемо тестові точки в кожному інтервалі:
Для інтервалу (-безмежність, -5) виберемо x = -6:
(3(-6) - 12)(-6 + 5) = (-30)(-1) = 30 > 0
Для інтервалу (-5, 4) виберемо x = 0:
(3(0) - 12)(0 + 5) = (-12)(5) = -60 < 0
Для інтервалу (4, +безмежність) виберемо x = 5:
(3(5) - 12)(5 + 5) = (15)(10) = 150 > 0
Тепер ми бачимо, що розв'язок нерівності це інтервал (-5, 4).
(x - 7)(2x + 10)(x + 1) / (x² - 4) > 0
Знайдемо критичні точки, де чисельник і знаменник дорівнюють нулю:
Для чисельника:
x - 7 = 0 => x = 7
2x + 10 = 0 => x = -5
x + 1 = 0 => x = -1
Для знаменника:
x² - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0
Звідси x = 2 і x = -2
Зараз ми маємо п'ять критичних точок: -5, -2, -1, 2, 7.
Розділимо числову пряму на шість інтервалів: (-безмежність, -5), (-5, -2), (-2, -1), (-1, 2), (2, 7), (7, +безмежність).
Проведемо тестові точки в кожному інтервалі, обчисливши знак виразу:
В інтервалі (-безмежність, -5) виберемо x = -6:
Знаменник і чисельник обидва від'ємні, отже, вираз дорівнює додатньому значенню. Результат: > 0
В інтервалі (-5, -2) виберемо x = -3:
Знаменник і чисельник обидва від'ємні, отже, вираз дорівнює додатньому значенню. Результат: > 0
В інтервалі (-2, -1) виберемо x = -1.5:
Знаменник і чисельник обидва від'ємні, отже, вираз дорівнює додатньому значенню. Результат: > 0
В інтервалі (-1, 2) виберемо x = 0:
Знаменник від'ємний, чисельник додатний, отже, вираз від'ємний. Результат: < 0
В інтервалі (2, 7) виберемо x = 5:
Знаменник і чисельник обидва додатні, отже, вираз дорівнює додатньому значенню. Результат: > 0
В інтервалі (7, +безмежність) виберемо x = 8:
Знаменник і чисельник обидва додатні, отже, вираз дорівнює додатньому значенню. Результат: > 0
Тепер ми бачимо, що розв'язок нерівності це об'єднання інтервалів (-безмежність, -5), (-5, -2), (-2, -1), (2, 7), (7, +безмежність