4a^2+b^2+1>2ab+2a+b довести нерівність
100 балів!
Ответы
Ответ:
Для доведення даної нерівності, спростимо вирази на обох сторонах:
Почнемо з даної нерівності:
4a^2 + b^2 + 1 > 2ab + 2a + b
Ми можемо відняти (2ab + 2a + b) від обох сторін нерівності, щоб отримати:
4a^2 + b^2 + 1 - 2ab - 2a - b > 0
Тепер спростимо ліву сторону нерівності:
4a^2 - 2ab + b^2 + 1 - 2a - b > 0
Тепер ми можемо розкласти квадратний трином:
(2a - b)^2 + (1 - 2a - b) > 0
Тепер ми маємо вигляд, де перший доданок - це квадрат, і другий доданок - це лінійна функція. Перевіримо умову нерівності, щоб вона була більше нуля:
(2a - b)^2 завжди більше або рівне нулю для всіх значень a і b.
(1 - 2a - b) більше нуля, якщо:
1 - 2a - b > 0
Розв'яжемо цю лінійну нерівність:
1 - 2a - b > 0
-2a - b > -1
b < -1 + 2a
Тепер ми маємо дві умови:
1. (2a - b)^2 завжди більше або рівне нулю.
2. b < -1 + 2a.
Отже, нерівність 4a^2 + b^2 + 1 > 2ab + 2a + b виконується, коли виконуються ці дві умови.