9. Стороны прямоугольника, периметр которого 16, равны катетам прямоугольного треугольника с гипотенузой √40. Найдите площадь прямоугольника.
Ответы
Пошаговое объяснение:
Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо довжину кожного катету прямокутного трикутника.
Ми знаємо, що гіпотенуза трикутника дорівнює √40, тобто c = √40.
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, де a і b - катети, c - гіпотенуза, ми маємо:
c² = a² + b².
Підставимо відомі значення:
(√40)² = a² + b²,
40 = a² + b².
Тепер знаючи, що периметр прямокутника дорівнює 16, ми можемо виразити його через довжини сторін:
P = 2a + 2b = 16.
Поділимо обидва боки на 2:
a + b = 8.
Знаючи обидві ці рівності, ми можемо розв'язати систему рівнянь для a і b:
40 = a² + b²,
a + b = 8.
Знайдемо значення a та b:
Знаючи a + b = 8, можемо виразити a:
a = 8 - b.
Підставимо це значення в перше рівняння:
40 = (8 - b)² + b².
Розкриємо дужки:
40 = 64 - 16b + b² + b².
Спростимо рівняння:
2b² - 16b + 24 = 0.
Розділимо обидві сторони на 2 (щоб спростити):
b² - 8b + 12 = 0.
Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою дискримінанта:
D = b² - 4ac,
D = (-8)² - 4 * 1 * 12,
D = 64 - 48,
D = 16.
Дискримінант додатній, отже, є два корені:
b₁ = (-(-8) + √16) / (2 * 1) = (8 + 4) / 2 = 12 / 2 = 6,
b₂ = (-(-8) - √16) / (2 * 1) = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2.
Отже, у нас є два значення b: b₁ = 6 і b₂ = 2.
Тепер знайдемо відповідні значення a, використовуючи a + b = 8:
Для b₁ = 6:
a₁ = 8 - b₁ = 8 - 6 = 2.
Для b₂ = 2:
a₂ = 8 - b₂ = 8 - 2 = 6.
Отже, ми маємо дві пари значень сторін прямокутника: (a₁, b₁) = (2, 6) і (a₂, b₂) = (6, 2).
Тепер знайдемо площу прямокутника за допомогою формули:
S = a * b.
Для першої пари значень (2, 6):
S₁ = 2 * 6 = 12 квадратних одиниць.
Для другої пари значень (6, 2):
S₂ = 6 * 2 = 12 квадратних одиниць.
Отже, площа прямокутника дорівнює 12 квадратних одиниць, незалежно від того, яку пару значень сторін ви виберете