Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
y = 4 − x^2, y = (x − 2)^2, y = 0 .

Answer 1

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями, потрібно визначити точки перетину цих кривих і знайти інтеграл від однієї функції до іншої на відповідному інтервалі.

Знаходження точок перетину:
1. Перш за все, знайдемо точки перетину функцій y = 4 - x^2 та y = (x - 2)^2.
2. Поставимо їх рівними один одному: 4 - x^2 = (x - 2)^2.
3. Розв'яжемо це рівняння для x.

Розв'язок цього рівняння дає дві точки перетину x. Знайдемо їх значення та відповідні y-координати:

x = 1 і x = 3.

Тепер ми маємо дві точки перетину: (1, 3) та (3, 1).

Знаходження площі:
Тепер обчислімо площу фігури, обмеженої цими функціями, використовуючи інтеграцію:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

де a і b - координати точок перетину (1 та 3 у нашому випадку).

f(x) - верхня функція (y = 4 - x^2), g(x) - нижня функція (y = (x - 2)^2).

S = ∫[1, 3] ((4 - x^2) - ((x - 2)^2)) dx.

Розв'яжемо цей інтеграл та отримаємо площу фігури:

S = ∫[1, 3] (4 - x^2 - (x^2 - 4x + 4)) dx
S = ∫[1, 3] (4 - x^2 - x^2 + 4x - 4) dx
S = ∫[1, 3] (-2x^2 + 4x) dx

Тепер обчислімо цей інтеграл:

S = [-2/3 * x^3 + 2x^2] from 1 to 3
S = [-2/3 * 3^3 + 2 * 3^2] - [-2/3 * 1^3 + 2 * 1^2]
S = [-18 + 18] - [-2/3 + 2]
S = 18 - 2/3

Отже, площа фігури, обмеженої цими функціями, дорівнює:

S = 54/3 - 2/3 = 52/3.

Отже, площа фігури дорівнює 52/3 квадратних одиниці.