Даны вектор p(-4;3),d(2;1) и q(6;a)Найдите:
(а) Косинус между векторами p и d
(b)число а,если векторы d и p
коллинеарны
(с) число а,если векторы p и d перпендикулярны.
Ответы
Ответ:(a) Косинус между векторами p и d: cos(θ) = -5 / (5 * √5)
(b) Векторы d и p не коллинеарны.
(c) Векторы p и d не перпендикулярны.
Объяснение:Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:
(a) Косинус между векторами p и d:
Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (p · d) / (||p|| * ||d||)
где θ - угол между векторами, p · d - скалярное произведение векторов p и d, ||p|| и ||d|| - длины векторов p и d.
Длины векторов p и d можно найти следующим образом:
||p|| = √((-4)^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
||d|| = √(2^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5
Теперь вычислим скалярное произведение векторов p и d:
p · d = (-4 * 2) + (3 * 1) = -8 + 3 = -5
Теперь мы можем найти косинус угла между векторами:
cos(θ) = (-5) / (5 * √5)
(b) Если векторы d и p коллинеарны, это означает, что они сонаправлены или противоположно направлены. В данном случае, если они коллинеарны, то координаты вектора d можно выразить через координаты вектора p. Так как вектор d(2;1), то мы можем записать:
d = k * p
где k - некоторое число.
Сравнивая координаты, получаем:
2 = k * (-4)
1 = k * 3
Из первого уравнения находим k = -1/2. Подставляя это значение во второе уравнение, мы видим, что оно не выполняется. Следовательно, векторы d и p не коллинеарны.
(c) Если векторы p и d перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
p · d = 0
Мы уже рассчитали скалярное произведение векторов p и d в пункте (a) и получили p · d = -5. Поэтому векторы p и d не перпендикулярны, так как их скалярное произведение не равно нулю.
Таким образом:
(a) Косинус между векторами p и d: cos(θ) = -5 / (5 * √5)
(b) Векторы d и p не коллинеарны.
(c) Векторы p и d не перпендикулярны.