Исследуйте функции на монотонность и экстремумы: а) y=5x^2 - 20x ; б) y=x^3 + 3x^2 + 4 ; в) y=x^2(x - 12) ; г) y=x^2/1-x
Помогите с математикой 2 курса
Ответы
Ответ:
а) Функция y = 5x^2 - 20x:
Найдем производную функции: y' = 10x - 20.
Для определения монотонности и экстремумов проанализируем знак производной.
Если y' > 0, то функция возрастает.
Если y' < 0, то функция убывает.
Если y' = 0, то возможны экстремумы.
Решим y' = 10x - 20 = 0:
10x = 20
x = 2
Производная равна 0 при x = 2. Это означает, что у нас есть экстремум в этой точке. Теперь мы можем провести тестовую точку:
Если x < 2, то y' < 0, поэтому функция убывает слева от x = 2.
Если x > 2, то y' > 0, поэтому функция возрастает справа от x = 2.
Таким образом, у функции есть локальный минимум при x = 2. Она убывает до x = 2 и возрастает после x = 2.
б) Функция y = x^3 + 3x^2 + 4:
Найдем производную функции: y' = 3x^2 + 6x.
Решим уравнение y' = 0:
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = -2. Теперь проведем тестовые точки:
Если x < -2, то y' > 0, поэтому функция возрастает слева от x = -2.
Если -2 < x < 0, то y' < 0, поэтому функция убывает между x = -2 и x = 0.
Если x > 0, то y' > 0, поэтому функция возрастает справа от x = 0.
Таким образом, функция убывает на интервале (-2, 0) и возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞). У функции есть локальный максимум в точке x = -2.
в) Функция y = x^2(x - 12):
Раскроем скобки: y = x^3 - 12x^2.
Найдем производную функции: y' = 3x^2 - 24x.
Решим уравнение y' = 0:
3x^2 - 24x = 0
3x(x - 8) = 0
Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 8. Теперь проведем тестовые точки:
Если x < 0, то y' < 0, поэтому функция убывает слева от x = 0.
Если 0 < x < 8, то y' > 0, поэтому функция возрастает между x = 0 и x = 8.
Если x > 8, то y' > 0, поэтому функция также возрастает справа от x = 8.
Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервалах (0, 8) и (8, +∞). У функции есть локальный минимум в точке x = 0.
г) Функция y = x^2 / (1 - x):
Найдем производную функции: y' = (2x(1 - x) - x^2) / (1 - x)^2.
Упростим производную: y' = (2x - 2x^2 - x^2) / (1 - x)^2 = (2x - 3x^2) / (1 - x)^2.
Для анализа монотонности и экстремумов рассмотрим знак производной:
Если y' > 0, то функция возрастает.
Если y' < 0, то функция убывает.
Если y' = 0, то возможны экстремумы.
Решим уравнение y' = 0:
2x - 3x^2 = 0
x(2 - 3x) = 0
Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 2/3. Теперь проведем тестовые точки:
Если x < 0, то y' < 0, поэтому функция убывает на интервале (-∞, 0).
Если 0 < x < 2/3, то y' > 0, поэтому функция возрастает на интервале (0, 2/3).
Если x > 2/3, то y' < 0, поэтому функция убывает на интервале (2/3, +∞).
Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (2/3, +∞), и возрастает на интервале (0, 2/3). У функции есть локальный максимум в точке x = 2/3.