Question

Знайти границі послідовності.

Answer 1

Ответ:

$10 \dfrac{2}{3}$

Объяснение:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x }{3x^2}$

По формуле двойного угла

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha \Rightarrow \cos 8x = 1 - 2\sin ^2 4x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x }{3x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - (1 - 2\sin ^24x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin ^2 4x}{3x^2} = \frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \bigg ( \frac{\sin 4x}{x} \bigg ) ^2 =\\\\\\\ = \left < \begin{array} {ccc} 4x = t \\ x = \dfrac{t}{4} \end{array}\right > = \frac{2}{3} \cdot \lim_{\tfrac{t}{4} \to 0} \left ( \frac{\sin t}{\dfrac{t}{4} } \right) ^2 = \frac{2}{3} \cdot \lim_{t\to 0} \bigg ( 4\cdot \frac{\sin t}{t} \bigg ) ^2$

Первый замечательный предел

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \Rightarrow$

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \lim_{t \to 0} \bigg ( 4\cdot \frac{\sin t}{t} \bigg ) ^2 = \frac{2}{3}\cdot (4\cdot 1) ^2 = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$