Question

3. Доведіть тотожність ​

Answer 1

Для доведення тотожності, спочатку приведемо обидві частини рівняння до спільного знаменника:

(x² - 2x - 3) / (x² - 1) + 4 / (2x - 2) = 1

Знаменник першого доданка можна розкласти на множники:

(x² - 2x - 3) = (x - 3)(x + 1)

Знаменник другого доданка можна спростити:

(2x - 2) = 2(x - 1)

Тепер перепишемо рівняння з врахуванням цих спрощень:

(x - 3)(x + 1) / (x² - 1) + 4 / (2(x - 1)) = 1

Тепер приведемо знаменники до спільного знаменника, який буде (x² - 1)(2(x - 1)):

[(x - 3)(x + 1)(2(x - 1)) + 4(x² - 1)] / [(x² - 1)(2(x - 1))] = 1

Помножимо чисельник першого доданка:

[(2x² - 2)(x - 3)(x + 1) + 4(x² - 1)] / [(x² - 1)(2(x - 1))] = 1

Розкриємо дужки в чисельнику:

[(2x² - 2)(x² - 2x - 3) + 4x² - 4] / [(x² - 1)(2x - 2)] = 1

Помножимо першу дужку на другу:

(2x⁴ - 4x³ - 6x² - 2x² + 4x + 6 + 4x² - 4) / [(x² - 1)(2x - 2)] = 1

Спростимо чисельник:

(2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2) / [(x² - 1)(2x - 2)] = 1

Тепер спростимо знаменник:

(x² - 1)(2x - 2) = (x - 1)(x + 1)(2(x - 1)) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 1) = 2(x - 1)²(x + 1)

Підставимо це у рівняння:

(2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2) / [2(x - 1)²(x + 1)] = 1

Помножимо обидві частини рівняння на знаменник:

2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2 = 2(x - 1)²(x + 1)

Розкриємо дужки у правій частині:

2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2 = 2(x² - 2x + 1)(x + 1)

Спростимо праву частину:

2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2 = 2(x⁴ - 2x³ + x² + x² - 2x + 1)

Розкриємо дужки:

2x⁴ - 4x³ - 4x² + 4x + 2 = 2x⁴ - 4x³ + 2x² + 2x² - 4x + 2

Спростимо рівняння:

0 = 0

Отримали тотожність, що означає, що початкове рівняння є тотожністю і справедливе для будь-якого значення x.