На дошці написано натуральні числа n > m. Сашко розділив n на m з остачею та отримав неповну частку q1 i остачу r1. Надійка розділила n - 1 на m з остачею та отримала неповну частку q2 і остачу r2. Виявилося, що q1 +q2 = r1 + r2. Доведіть, що число 2n є квадратом натурального числа
Ответы
Ответ:
Для того, щоб довести, що число 2п є квадратом натурального числа, розглянемо дані у завданні та використаємо алгебраїчний підхід.
Ми знаємо, що Сашко розділив п на м та отримав неповну частку 1 і остачу г1, що можна записати як:
p = m + 1 + g1
Також нам дано, що Надійка розділила 1 на m та отримала неповну частку q2 і остачу г2, а також q1 + q2 = 1 + г2.
Ми можемо виразити q1 як q1 = 1 + г2 - q2.
Тепер, ми можемо виразити 2p та піднести їх до квадрата:
2p = 2(m + 1 + g1) = 2m + 2 + 2g1
Також, ми піднімемо під квадрат вираз для q1:
q1^2 = (1 + г2 - q2)^2 = 1 + г2^2 + q2^2 - 2г2q2 - 2q2 + 2г2q2 - 2г2 + 2q2
Зараз обчислимо q1^2 + 2p:
q1^2 + 2p = 1 + г2^2 + q2^2 - 2г2q2 - 2q2 + 2г2q2 - 2г2 + 2q2 + 2m + 2 + 2g1 = 1 + г2^2 + q2^2 + 2m + 2 + 2g1
Зараз застосуємо умову q1 + q2 = 1 + г2, щоб замінити q1 + q2 на 1 + г2:
q1^2 + 2p = 1 + г2^2 + q2^2 + 2m + 2 + 2g1 = (1 + г2)^2 + q2^2 + 2m + 2g1
Зараз ми бачимо, що q1^2 + 2p є квадратом натурального числа (це (1 + г2)^2), тобто 2p є квадратом натурального числа.
Отже, число 2p є квадратом натурального числа, що було потрібно довести.
Ответ:
Для доведення, що число 2n є квадратом натурального числа, спростимо вираз q1 + q2 = r1 + r2, використовуючи інформацію, яку маємо.
Ми знаємо, що n > m, отже, ми можемо записати:
n = m * k + r1, де k - це натуральне число, r1 - остача від ділення n на m.
А також, n - 1 = m * k + r2, де r2 - остача від ділення n - 1 на m.
Тепер ми можемо записати q1 та q2 наступним чином:
q1 = k, так як q1 - це неповна частка при діленні n на m.
q2 = k, так як q2 - це неповна частка при діленні n - 1 на m.
Також, ми можемо записати r1 та r2:
r1 = n - m * k,
r2 = n - 1 - m * k.
Тепер ми можемо обчислити q1 + q2 і r1 + r2:
q1 + q2 = k + k = 2k,
r1 + r2 = (n - m * k) + (n - 1 - m * k) = 2n - 1 - 2 * m * k.
Таким чином, ми маємо:
2k = 2n - 1 - 2 * m * k.
Помножимо обидві сторони на k:
2k^2 = 2n * k - k.
Тепер додамо k до обох сторін:
2k^2 + k = 2n * k.
Ми бачимо, що ліва сторона виразу (2k^2 + k) - це квадрат натурального числа (k^2), а права сторона (2n * k) - це добуток натурального числа k та 2n.
Отже, ми довели, що 2n є квадратом натурального числа, оскільки 2k^2 + k = (k^2)^2.
Пошаговое объяснение: