Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции y = x^2-2(x)
Ответы
Ответ:
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции \(y = x^2 - 2x\), выполним следующие шаги:
1. Найдем первую производную функции \(y = x^2 - 2x\):
\(y' = 2x - 2\)
2. Решим уравнение \(y' = 0\) для нахождения критических точек:
\(2x - 2 = 0\)
\(x = 1\)
У нас есть одна критическая точка при \(x = 1\).
3. Проверим знаки \(y'\) в интервалах, образованных критической точкой:
a) При \(x < 1\), возьмем \(x = 0\) (меньше 1):
\(y' = 2(0) - 2 = -2\), отрицательное значение.
b) При \(x > 1\), возьмем \(x = 2\) (больше 1):
\(y' = 2(2) - 2 = 2\), положительное значение.
Итак, на интервале \((-\infty, 1)\) функция убывает, а на интервале \((1, +\infty)\) функция возрастает.
Теперь найдем экстремумы. Поскольку у нас есть только одна критическая точка при \(x = 1\), это будет точка локального минимума.
Определим значения функции в критической точке \(x = 1\):
\(y = 1^2 - 2(1) = -1\)
Итак, у нас есть локальный минимум в точке \((1, -1)\).