Question

Доказать, что tg+ctg > sin+cos

Answer 1

$dfrac{sin x}{cos x}+dfrac{cos x}{sin x}=dfrac{sin^2x+cos^2x}{sin xcos x}=dfrac1{sin xcos x}$

Верно ли,  что 1/(sin x cos x) > sin x + cos x при всех x?

Представим себе, что x = pi - epsilon, epsilon - очень маленькое положительное число. Тогда sin x - почти ноль, cos x - почти -1.

Левая часть неравенства почти "минус бесконечность", в то время как правая часть - почти -1. Неравенство не выполняется.

Легко установить, при каких x это неравенство верно. 
Пусть sin x cos x > 0 (угол третьей или первой четверти). Домножим на sin x cos x:
(sin x + cos x) sin x cos x < 1 - требуется проверить.

(sin x + cos x) sin x cos x - 1 = sin^2 x cos x + sin x cos^2 x - sin^2 x - cos^2 x =
= sin^2 x (cos x - 1) + cos^2 x (sin x - 1)
Каждая скобка отрицательна (синус и косинус не больше 1; с учётом ограничения sin x cos x > 0 неравенство строгое), тогда вся сумма < 0.

При sin x cos x < 0 это неравенство неверно: проделав такие же выкладки, придём к нигде не верному неравенству sin^2 x (cos x - 1) + cos^2 x (sin x - 1) > 0