Question

A (-9;8;9), B (7;1; - 2)
vec(b) (7;2;4) ,vec(c) (5;2; - 1)
длина вектора a и координаты центра отрезка AB?
проекция вектора a на вектор c
Площадь параллелограмма, образованного векторами b и c
Найдите объем пирамиды, образованной векторами a b и c.

Answer 1

Ответ:

Длина вектора A:

|A| = √((-9)^2 + 8^2 + 9^2) = √(81 + 64 + 81) = √(226) ≈ 15.03

Координаты центра отрезка AB:

(x, y, z) = ((-9 + 7)/2, (8 + 1)/2, (9 - 2)/2) = (-1, 4.5, 3.5)

Проекция вектора A на вектор C:

Проекция вектора A на вектор C равна произведению единичного вектора, направленного вдоль вектора C, на скалярное произведение вектора A и вектора C.

Единичный вектор вдоль вектора C:

c‌ = (1/√(5^2 + 2^2 + (-1)^2)) (5, 2, -1) = (1/√30) (5, 2, -1) ≈ (0.577, 0.231, -0.116)

Скалярное произведение векторов A и C:

A · C = (-9)(5) + 8(2) + 9(-1) = -45 + 16 - 9 = -38

Проекция вектора A на вектор C:

projAC = (A · C) c‌ = -38 (0.577, 0.231, -0.116) ≈ (-21.926, -8.788, 4.394)

Площадь параллелограмма, образованного векторами B и C:

Площадь параллелограмма равна длине их векторного произведения |B × C|:

B × C = (7, 2, 4) × (5, 2, -1) = ((2 (-1) - 4 2), (4 5 - 7 (-1)), (7 2 - 5 2)) = (-9, 33, 4)

|B × C| = √((-9)^2 + 33^2 + 4^2) = √(81 + 1089 + 16) = √1186 ≈ 34.45

Таким образом, площадь параллелограмма, образованного векторами B и C, примерно равна 34.45.

Объем пирамиды, образованной векторами A, B и C:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания, образованного векторами B и C, на высоту, которая определяется проекцией вектора A на вектор C:

V = (1/3) |B × C| |projAC| = (1/3) 34.45 √((-21.926)^2 + (-8.788)^2 + 4.394^2) ≈ 330.22

Таким образом, объем пирамиды, образованной векторами A, B и C, примерно равен 330.22 единицам объема.