Question

Вышмат
Найти производную:
1.
$y = ln( \sqrt[5]{ \frac{8x + 5}{5x - 8} } )$
2.
$y = \frac{2}{ \cos ^{8} (x) }$
если можно, распишите объяснение ​

Answer 1

Ответ:

1. Начнем с первой задачи, вычисления производной функции `y`:

y = ln(5x-8 / 8x+5)

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования для логарифмов. Правило гласит, что производная ln(u) равна (1/u) * u', где u' - производная функции u по переменной x.

В данном случае u = (5x-8) / (8x+5).

Теперь вычислим производную u по x:

u' = [(5x+5)'*(8x+5) - (5x-8)*(8x+5)'] / (8x+5)^2

u' = [(5)*(8x+5) - (5x-8)*(8)] / (8x+5)^2

u' = (40x + 25 - 40x + 64) / (8x+5)^2

u' = (89) / (8x+5)^2

Теперь возвращаемся к исходной формуле y и вычисляем ее производную:

y' = (1/u) * u'

y' = (1 / ((5x-8) / (8x+5))) * (89) / (8x+5)^2

y' = (89) / (5x-8)

Таким образом, производная y по x равна y' = (89) / (5x-8).

2. Для второй задачи:

y = cos^8(x)

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна f'(g(x)) * g'(x).

В данном случае f(u) = u^8, где u = cos(x).

f'(u) = 8u^7 (производная степенной функции)

Теперь вычислим производную g(x), где g(x) = cos(x):

g'(x) = -sin(x) (производная косинуса)

Теперь мы можем применить цепное правило:

y' = f'(g(x)) * g'(x)

y' = 8(cos(x))^7 * (-sin(x))

Таким образом, производная y по x равна y' = -8(cos(x))^7 * sin(x).