Предмет: Математика, автор: lostintheabyss

Два спортсмени починають біг одночасно - перший з пункту A в B, а другий - з B в A. Вони біжать з неоднаковими, але постійними швидкостями і зустрічаються на відстані 300 м від A. Пробігши доріжку AB до кінця, кожний з них повертається назад і зустрічає другого на відстані 400 м від B. Знайдіть довжину AB.

Ответы

Автор ответа: volna7
0

Відповідь:

Відстань між пунктами A та B дорівнює 500 метрів.

Покрокове пояснення:

Позначимо відстань між пунктами A та B як D метрів, швидкість першого спортсмена як X м/хв., та швидкість другого спортсмена як Y м/хв.

1) До першої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 300 метрів, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у ( D - 300 ) метрів.

Для знаходження часу ( t ), що потрібно витратити спортсмену, щоб подолати відстань ( S ), за умови, що він рухається зі швидкістю ( V ) використовуємо формулу:

t = S/V

Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:

t1 = 300 / X хвилин,

a другому спортсмену:

t2 = ( D - 300 ) / Y хвилин.

Оскільки спортсмени зустрілись, то

t1 = t2

Отримаємо перше рівняння:

300 / X = ( D - 300 ) / Y

Знайдемо співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:

300 × Y = ( D - 300 ) × X

X / Y = 300 / ( D - 300 ) ( 1 )

2) Від першої до другої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у ( D - 300 ) метрів до пункту В, та 400 метрів від пункту В до місця другої зустрічі, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 300 метрів до пункту А, та ( D - 400 ) метрів віж пункту А до місця другої зустрічі.

Загалом перший спортсмен подолав відстань у ( D - 300 + 400 ) = ( D + 100 ) метрів, а другий спортсмен подолав відстань у ( D - 400 + 300 ) = ( D - 100 ) метрів.

Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:

t3 = ( D + 100 ) / X хвилин,

a другому спортсмену:

t4 = ( D - 100 ) / Y хвилин.

Оскільки спортсмени зустрілись, то

t3 = t4

Отримаємо друге рівняння:

( D + 100 ) / X = ( D - 100 ) / Y

Знайдемо співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:

( D - 100 ) × X = ( D + 100 ) + Y

X / Y = ( D + 100 ) / ( D - 100 ) ( 2 )

3) Оскільки швидкості спортсменів були постійними на обох дільницях руху, то співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена також були постійними на обох дільницях руху. З рівняннь ( 1 ) та ( 2 ) отримаємо:

300 / ( D - 300 ) = ( D + 100 ) / ( D - 100 )

300 / ( D - 300 ) - ( D + 100 ) / ( D - 100 ) = 0

Приведемо обидва дроба до спільного знаменника ( D - 300 ) × ( D - 100 ) та помножимо на нього обидві сторони рівняння:

300 × ( D - 100 ) - ( D + 100 ) × ( D - 300 ) = 0 × ( D - 300 ) × ( D - 100 )

Розкривая дужки отримаємо:

300D - 30 000 - D² + 300D + 30 000 - 100D = 0

Отримаємо квадратне рівняння:

-D² + 500D = 0

Знайдемо дискрімінант:

Dskr = ( 500 )² - 4 × ( -1 ) × 0 = 250 000

Знайдемо корні квадратного рівняння:

D1 = ( -500 + √ ( 250 000 ) / ( 2 × ( -1 )) = ( -500 + 500 ) / ( -2 ) = 0 / ( -2 ) = 0 метрів.

D2 = ( -500 - √ ( 250 000 ) / ( 2 × ( -1 )) = ( -500 - 500 ) / ( -2 ) = -1000 / ( -2 ) = 500 метрів.

Перший корінь ми відкидаємо оскільки відстань для змагань з бігу не може бути нульовою.

Отже відстань між пунктами A та B дорівнює 500 метрів.

Перевірка:

1) До першої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 300 метрів, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 500 - 300 = 200 метрів.

Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:

t1 = 300 / X хвилин,

a другому спортсмену:

t2 = 200 / Y хвилин.

Оскільки спортсмени зустрілись, то

t1 = t2

Маємо:

300 / X = 200 / Y

Співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:

X / Y = 200 / 300

X / Y = 2 / 3

2) Від першої до другої зустрічі перший спортсмен ( що біг з А в В ) подолав відстань у 500 - 300 = 200 метрів до пункту В, та 400 метрів від пункту В до місця другої зустрічі, а другий спортсмен ( що біг з В в А ) подолав відстань у 300 метрів до пункту А, та 500 - 400 = 100 метрів від пункту А до місця другої зустрічі.

Загалом перший спортсмен подолав відстань у 200 + 400 = 600 метрів, а другий спортсмен подолав відстань у 100 + 300 ) = 400 метрів.

Для подолання необхідної відстані першому спортсмену було потрібно:

t3 = 600 / X хвилин,

a другому спортсмену:

t4 = 400 / Y хвилин.

Оскільки спортсмени зустрілись, то

t3 = t4

Маємо:

600 / X = 400 / Y

Співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена:

X / Y = 400 / 600

X / Y = 2 / 3

Оскільки швидкості спортсменів були постійними на обох дільницях руху, то співвідношення швидкостей першого та другого спортсмена також були постійними на обох дільницях руху.

Все вірно.

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: omiralinurailan
Предмет: Алгебра, автор: asemzhambulbek07
Предмет: Қазақ тiлi, автор: kenzhetaiakerke