У чотирикутнику ABCD, вписаному в коло, AB=a, BC=b,
CD=c, AD=d. Знайдіть довжину діагоналі АC.
!!!!ДАМ 60 БАЛЛОВ!!!!! СРОЧНО !!!!!!!
Ответы
Ответ:
AC = (a + b + c + d) / 2
Объяснение:
Довжина діагоналі AC дорівнює відрізку, що з'єднує центр кола з точкою перетину діагоналей. Нехай ця точка перетину називається P.
Оскільки чотирикутник ABCD вписано в коло, то радіус кола дорівнює відстані від центру кола до будь-якої точки чотирикутника. Тому радіус кола дорівнює:
r = AP + PC = BP + PD
Оскільки AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, то AP = a/2, PC = c/2, BP = b/2, PD = d/2. Підставивши ці значення в рівняння, отримаємо:
r = a/2 + c/2 = b/2 + d/2
Розв'язавши це рівняння, отримаємо:
r = (a + c)/2 = (b + d)/2
Діагональ AC дорівнює відрізку, що з'єднує центр кола з точкою перетину діагоналей, тобто дорівнює радіусу кола. Тому довжина діагоналі AC дорівнює:
AC = r = (a + c)/2 = (b + d)/2
Отже, відповідь:
AC = (a + c)/2 = (b + d)/2
Ось покроковий розв'язок:
Нехай точка перетину діагоналей називається P.
Оскільки чотирикутник ABCD вписано в коло, то радіус кола дорівнює відстані від центру кола до будь-якої точки чотирикутника.
AP = a/2, PC = c/2, BP = b/2, PD = d/2.
r = AP + PC = BP + PD = (a + c)/2 = (b + d)/2.
AC = r = (a + c)/2 = (b + d)/2.
Цей розв'язок можна також записати у вигляді наступної формули:
AC = (a + b + c + d) / 2
Ця формула узагальнює попередню формулу, оскільки вона справедлива для будь-якого чотирикутника, вписаного в коло.