Question

Задані координати трьох вершин трикутника MNP:
M(1;2), N(2;−7), P(−2;6).
Знайти:
1) рівняння сторони MP;
2) рівняння висоти NK ;
3) рівняння медіани NF ;
4) рівняння прямої, що проходить
через точку N паралельно
стороні MP;

Answer 1

1) Рівняння сторони MP:
Спершу знайдемо координати точки P та M. Відомо, що P(−2;6) і M(1;2). Тоді вектор MP можна знайти віднявши координати M від P:
MP = P - M = (-2 - 1; 6 - 2) = (-3; 4).

Рівняння сторони MP можна записати у вигляді:
y = kx + b.

Для знаходження коефіцієнта k використовуємо вектор MP:
k = (4 / -3).

Тепер, щоб знайти b, підставимо координати однієї з точок M або P. Для прикладу, використаємо точку M(1;2):
2 = (4 / -3) * 1 + b.
b = 2 + 4/3 = 10/3.

Отже, рівняння сторони MP:
y = (4 / -3) * x + 10/3.

2) Рівняння висоти NK:
Висота NK перпендикулярна до сторони MP і проходить через точку N(2;−7). Так як коефіцієнт k сторони MP вже знайдено, то коефіцієнт k висоти NK буде оберненим до k сторони MP, тобто k = 3/4 (зі зміненим знаком).

Рівняння висоти NK:
y = (4/3) * x + b.

Щоб знайти b, підставимо координати точки N(2;−7):
-7 = (4/3) * 2 + b.
b = -7 - 8/3 = -31/3.

Отже, рівняння висоти NK:
y = (4/3) * x - 31/3.

3) Рівняння медіани NF:
Медіана NF - це відрізок, який сполучає середину сторони MP з вершиною N. Спершу знайдемо середину сторони MP, яка розділяє її на дві рівні частини.

Координати середини сторони MP:
x = (1 + (-2)) / 2 = -1/2,
y = (2 + 6) / 2 = 4.

Таким чином, середина сторони MP має координати (-1/2; 4).

Тепер знайдемо рівняння відрізка NF, який проходить через цю точку та N(2;−7):
Використовуючи дві точки (-1/2; 4) та (2;−7), знайдемо рівняння прямої:
k = (4 - (-7)) / (-1/2 - 2) = 11 / (-5/2) = -22/5.

Рівняння медіани NF:
y = (-22/5) * x + b.

Для знаходження b використаємо координати однієї з точок, наприклад, (-1/2; 4):
4 = (-22/5) * (-1/2) + b.
b = 4 + 11/5 = 31/5.

Отже, рівняння медіани NF:
y = (-22/5) * x + 31/5.