Дано вершини піраміди:
A1 (2; 2; 5)
A2 (-2; 1; 0)
A3 (1; -2; 1)
A4 (3; 1; 2)
Знайти:
1) довжину ребра А1А2
2) кут між ребрами A1A2 і A1A4
3) площу грані А1А2А3
4) обʼєм піраміди
Ответы
Відповідь:
Для знаходження довжини ребра A1A2 між точками A1 (2; 2; 5) і A2 (-2; 1; 0) можна використовувати теорему Піфагора в тривимірному просторі. Довжина ребра дорівнює відстані між цими двома точками. Формула виглядає наступним чином:Довжина ребра A1A2 = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)Де (x1, y1, z1) = (2, 2, 5) і (x2, y2, z2) = (-2, 1, 0):Довжина ребра A1A2 = √((-2 - 2)² + (1 - 2)² + (0 - 5)²) = √((-4)² + (-1)² + (-5)²) = √(16 + 1 + 25) = √42Отже, довжина ребра A1A2 дорівнює √42.Для знаходження кута між ребрами A1A2 і A1A4 можна використовувати скалярний добуток векторів. Позначимо вектори A1A2 і A1A4 через вектори (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно.Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою:A1A2⋅A1A4=∣A1A2∣∗∣A1A4∣∗cos(θ)A1A2⋅A1A4=∣A1A2∣∗∣A1A4∣∗cos(θ),де θ - кут між векторами.Ми вже знайшли довжину A1A2 (|A1A2| = √42) і можемо знайти довжину A1A4. Вектор A1A4 можна знайти, віднімаючи координати точок A1 і A4:A1A4=(x4−x1,y4−y1,z4−z1)=(3−2,1−2,2−5)=(1,−1,−3)A1A4=(x4−x1,y4−y1,z4−z1)=(3−2,1−2,2−5)=(1,−1,−3).Тепер знайдемо довжину вектору A1A4 (|A1A4|):∣A1A4∣=√(12+(−1)2+(−3)2)=√(1+1+9)=√11∣A1A4∣=√(12+(−1)2+(−3)2)=√(1+1+9)=√11.Тепер можемо використовувати скалярний добуток для знаходження кута:√42∗√11∗cos(θ)=√42∗√11∗cos(θ)√42∗√11∗cos(θ)=√42∗√11∗cos(θ),де θ - шуканий кут.Тепер можна розв'язати рівняння для кута θ:cos(θ)=(√42∗√11)/(√42∗√11)cos(θ)=(√42∗√11)/(√42∗√11).cos(θ)=1cos(θ)=1.Отже, θ=arccos(1)=0θ=arccos(1)=0.Кут між ребрами A1A2 і A1A4 дорівнює 0 градусів.Площа грані А1А2А3 може бути знайдена за допомогою векторного добутку двох векторів, що лежать в площині грані. Позначимо вектори A1A2 і A1A3 через вектори (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно. Зараз ми використаємо векторний добуток для знаходження нормалі до грані та обчислення її площі.Вектор, який лежить в площині грані A1A2A3, можна знайти як векторний добуток векторів A1A2 і A1A3:n=A1A2×A1A3n=A1A2×A1A3,де A1A2=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)=(−2−2,1−2,0−5)=(−4,−1,−5)A1A2=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)=(−2−2,1−2,0−5)=(−4,−1,−5) і A1A3=(x3−x1,y3−y1,z3−z1)=(1−2,−2−2,1−5)=(−1,−4,−4)A1A3=(x3−x1,y3−y1,z3−z1)=(1−2,−2−2,1−5)=(−1,−4,−4).Тепер знайдемо векторний добуток:n=(−4,−1,−5)×(−1,−4,−4)n=(−4,−1,−5)×(−1,−4,−4).Векторний добуток дорівнює вектору, що перпендикулярний до площини грані. Тепер знайдемо площу грані:Площа грані A1A2A3 = |n| / 2.n=(−4,−1,−5)×(−1,−4,−4)=(−4∗(−4)−(−1)∗(−4),−1∗(−4)−(−5)∗(−1),−5∗(−4)−(−4)∗(−1))n=(−4,−1,−5)×(−1,−4,−4)=(−4∗(−4)−(−1)∗(−4),−1∗(−4)−(−5)∗(−1),−5∗(−4)−(−4)∗(−1)).n=(16−4,4−5,20−4)=(12,−1,16)n=(16−4,4−5,20−4)=(12,−1,16).Тепер обчислимо довжину вектору n:∣n∣=√(122+(−1)2+162)=√(144+1+256)=√401∣n∣=√(122+(−1)2+162)=√(144+1+256)=√401.
Покрокове пояснення: