Question

Найти область значений функции:

y = 2sin α - sin²α + 2cos²α

Answer 1

Ответ:

Найти область значений функции   $\bf y=2\, sin\, a-sin^2a+2\, cos^2a$   .

Cначала упростим функцию .

$\bf 2\, sina-sin^2a+2\, cos^2a= 2\, sina-sin^2a+2\, (1-sin^2a)=\\\\=2\, sina-sin^2a+2-2\, sin^2a=-3sin^2a+2\, sina+2=\\\\=-3\Big(sin^2a-\dfrac{2}{3}\, sina\Big)+2=-3\Big(\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2-\dfrac{1}{9}\Big)+2=\\\\=-3\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{1}{3}+2=-3\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\ \ ;$  

Итак , функция примет вид    $\bf y=-3\Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}$    .

Для функции  y = sinx  известно множество значений :  -1 ≤ sinx ≤ 1 . Поэтому

$\bf -1\leq sin\, a\leq 1\ \ ,\ \ -\dfrac{4}{3}\leq sin\, a-\dfrac{1}{3}\leq \dfrac{2}{3}\ \ ,\ \ \ 0\leq \, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2\leq \dfrac{16}{9}\ \ ,\\\\\\-\dfrac{16}{3}\leq -3\Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2\leq \, 0\ \ \ \ ,\ \ \ -\dfrac{9}{3}\leq -3\, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\leq \dfrac{7}{3}\\\\\\\ \ -3\ \leq \, -3\, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\ \leq \ 2\dfrac{1}{3}$

Значит заданная функция имеет множество значений     $\bf E(y)=\Big[\ -3\ ;\ 2\dfrac{1}{3}\ \Big]$   .