Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЭТИ СИСТЕМЫ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!! РЕШИТЬ МЕТОДОМ ГАУССА​

Answer 1

Ответ:

1)  Решить систему линейных однородных уравнений методом Гаусса .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 7x_1+2x_2-x_3+2x_4+x_5=0\\\bf 14x_1-3x_2+x_3-x_4-2x_5=0\end{array}\right$

У однородной системы всегда имеется тривиальное (нулевое) решение . Найдём общее решение системы .

Преобразуем матрицу системы к ступенчатому виду . Умножим на (-2) первое уравнение системы и прибавим ко второму уравнению .

$\left(\begin{array}{ccccc}7&2&-1&2&1\\14&-3&1&-1&-2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}7&2&-1&2&1\\0&-7&3&-5&-4\end{array}\right)$  

Выберем базисные неизвестные . Это будут  х₁  и  х₂  . Остальные неизвестные - свободные :  х₃ , х₄ , х₅  .

Выразим базисные неизвестные через свободные .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 7x_1+2x_2-x_3+2x_4+x_5=0\\\bf \ \ \ -7x_2+3x_3-5x_4-4x_5=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 7x_1+2x_2=x_3-2x_4-x_5\\\bf \qquad \ \ \ 7x_2=3x_3-5x_4-4x_5\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf 7x_1+2x_2=x_3-2x_4-x_5\\\bf \qquad \ \ \ x_2=\dfrac{3}{7}x_3-\dfrac{5}{7}x_4-\dfrac{4}{7}x_5\end{array}\right$  

$\bf 7x_1+2x_2=x_3-2x_4-x_5\ \ \ \Rightarrow \ \ 7x_1=-2x_2+x_3-2x_4-x_5\ \ ,\\\\7x_1=-2\cdot \Big(\dfrac{3}{7}x_3-\dfrac{5}{7}x_4-\dfrac{4}{7}x_5\Big)+x_3-2x_4-x_5=\dfrac{1}{7}x_3-\dfrac{4}{7}x_4+\dfrac{1}{7}x_5 \\\\x_1=\dfrac{1}{49}x_3-\dfrac{4}{49}x_4+\dfrac{1}{49}x_5$  

Общее решение :

   $\bf X=\left(\begin{array}{ccccc}\bf \dfrac{1}{49}x_3-\dfrac{4}{49}x_4+\dfrac{1}{49}x_5\\\bf \ \dfrac{3}{7}x_3-\dfrac{5}{7}x_4-\dfrac{4}{7}x_5\\\bf x_3\\\bf x_4\\\bf x_5\end{array}\right)$      

2)  Решить неоднородную систему методом Гаусса .

$\left\{\begin{array}{lll}\bf 6x_1-3x_2-2x_3+x_4-3x_5=3\\\bf -4x_1+x_2+x_3-3x_4+2x_5=4\\\bf 2x_1-2x_2+x_3-2x_4+5x_5=3\end{array}\right$    

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду . Обозначение  str - строка .

$\left(\begin{array}{cccccc}6&-3&-2&1&-3&\ |\ 3\\-4&1&1&-3&2&\ |\ 4\\2&-2&1&-2&5&\ |\ 3\end{array}\right)\sim \ 2str+2*3str\sim\\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccccc}6&-3&-2&1&-3&\ |\ 3\\-4&1&1&-3&2&\ |\ 4\\0&-3&3&-7&12&\ |\ 10\end{array}\right)\sim 4*1str+6*2str\sim$  

$\sim \left(\begin{array}{cccccc}6&-3&-2&1&-3&\ |\ 3\\0&-6&-2&-14&0&\ |\ 36\\0&-3&3&-7&12&\ |\ 10\end{array}\right)\sim 2str+(-2)*3str\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccccc}6&-3&-2&1&-3&\ |\ 3\\0&-6&-2&-14&0&\ |\ 36\\0&0&-8&0&-24&\ |\ 16\end{array}\right)$

Базисные неизвестные -   х₁ , х₂  и  х₃ . Свободные неизвестные - х₄ и х₅ .  Выразим базисные неизвестные через свободные .

$\bf -8x_3-24x_5=16\ \ \Rightarrow \ \ -x_3-3x_5=2\ \ ,\ \ x_3=-3x_5-2\\\\-6x_2-2x_3-14x_4=36\ \ \Rightarrow \ \ -3x_2=x_3+7x_4+18\ \ ,\\\\-3x_2=-3x_5-2+7x_4+18=7x_4-3x_5+16\ ,\ \ x_2=-\dfrac{7}{3}\, x_4+x_5-\dfrac{16}{3}\\\\6x_1=3x_2+2x_3-x_4+3x_5+3\\\\6x_1=(-7x_4+3x_5-16)+(-6x_5-4)-x_4+3x_5+3=-8x_4-17\\\\x_1=-\dfrac{4}{3}\, x_4-\dfrac{17}{6}$  

Общее решение :  

$\bf X=\left(\begin{array}{ccccc}\bf -\dfrac{4}{3}\, x_4-\dfrac{17}{6}\\\bf -\dfrac{7}{3}\, x_4+x_5-\dfrac{16}{3}\\\bf 3x_5-2\\\bf x_4\\\bf x_5\end{array}\right)$