ДАЮ 75 БАЛІВ , ДУЖЕ ТЕРМІНОВО
Дано координати вершин трикутника А(5;4) , В(7;14) , С(15;10) .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ:
б) рівняння висоти CD, опущеної з вершини С на сторону АВ і її довжину
в) кут B в радіанах з точністю до двох знаків;
г) рівняння медіани АМ;
д) рівняння кола, для якого медіана AM є діаметром
Бажано, що б було детально розписано з формулами...
Ответы
Ответ:
а) Для знаходження рівняння сторони АВ використовується формула:
y = mx + b, де m - коефіцієнт нахилу, b - зміщення по осі y.
Крок 1: Знайдемо значення m.
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) - координати вершини А, (x2, y2) - координати вершини В.
m = (14 - 4) / (7 - 5) = 10 / 2 = 5
Крок 2: Знайдемо значення b за допомогою однієї з координат вершини.
y = mx + b
4 = 5 5 + b
4 = 25 + b
b = 4 - 25
b = -21
Таким чином, рівняння сторони АВ: y = 5x - 21.
б) Для знаходження рівняння висоти CD і її довжини спочатку знайдемо координати точки Д.
Крок 1: Знайдемо середину сторони АВ, яка буде такою ж, як середина медіани АМ.
Координати середини сторони АВ: ((5 + 7) / 2, (4 + 14) / 2) = (6, 9)
Крок 2: Знайдемо рівняння медіани АМ. Використовуємо формулу, аналогічну знаходженню рівняння сторони АВ.
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) - координати вершини А, (x2, y2) - координати середини сторони АВ.
m = (9 - 4) / (6 - 5) = 5 / 1 = 5
Виберемо точку А (5, 4) і застосуємо формулу для знаходження b:
y = mx + b
4 = 5 5 + b
4 = 25 + b
b = 4 - 25
b = -21
Таким чином, рівняння медіани АМ: y = 5x - 21.
Тепер, щоб знайти рівняння висоти CD і її довжину, ми використовуємо властивість перпендикулярних прямих, яка стверджує, що множення коефіцієнтів нахилу 2 перпендикулярних прямих дає -1.
Коефіцієнт нахилу висоти CD = -1 / 5 (перпендикулярне до медіани АМ).
Тепер ми можемо знайти рівняння висоти CD, використовуючи координати точки С (15, 10):
y = mx + b
10 = (-1/5) 15 + b
10 = -3 + b
b = 13
Таким чином, рівняння висоти CD: y = (-1/5)x + 13.
в) Щоб знайти кут В в радіанах, використовуємо формулу:
tan(B) = (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) - координати вершини A, (x2, y2) - координати вершини B.
tan(B) = (14 - 4) / (7 - 5) = 10 / 2 = 5
B = arctan(5)
За допомогою калькулятора та формули B = arctan(5), знаходимо B, округлене до двох знаків після коми.
г) Для знаходження рівняння медіани АМ ми раніше вже обчислили його: y = 5x - 21.
д) Для знаходження рівняння кола, де медіана AM є діаметром, ми використовуємо рівняння кола в загальному вигляді:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, де (h, k) - центр кола, r - радіус.
Координати точки М можна знайти, підставивши координати середини сторони АВ у рівняння медіани АМ:
y = 5x - 21
y = 5 6 - 21
y = 9
Отже, точка М має координати (6, 9). Так як медіана AM є діаметром, центр кола буде знаходитись в середині сторони АВ, тобто координати центру кола будуть (6, 9).
Щоб знайти радіус r, ми можемо використати відстань між точками А і М:
r = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), де (x1, y1) - координати точки А, (x2, y2) - координати точки М.
r = sqrt((5 - 6)^2 + (4 - 9)^2) = sqrt((-1)^2 + (-5)^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)
Отже, рівняння кола, для якого медіана AM є діаметром, буде:
(x - 6)^2 + (y - 9)^2 = 26.