1. Скільки існує трицифрових чисел із ненульовими цифрами, які мають таку властивість: у результаті будь-якої перестановки цифр дістанемо трицифрове число, що ділиться націло на 4
2. Розв'яжіть систему рівнянь
x² + xy+xz=y,
y²+yz+yx=z,
z² +zx+zy = x.
3. Знайдіть усі натуральнi n, для яких число 11" -1 ділиться націло на 10" -1.
4. Вершини куба деяким чином перенумеровані числами 1; 2; ...; 8. Петрику повідомили для трьох із шести граней куба но- мери вершин, що їм вiдповiдають: {1;4;6;8}, {1;2;6;7}, {1;2;5;8}. Чи зможе Петрик за цими даними сказати, який номер має вершина, що найбільш віддалена від вершини з номером 5
5. На сторонах АВ та AD квадрата ABCD позначені точки N та P вiдповiдно так, що PN=NC, точка Q - точка на відрізку AN, для якої ZNCB=ZQPN. Доведіть, що
кут BCQ=1/2 кута PQA
пупсикиии срочно помогите!!!
Ответы
Ответ:
1. Щоб знайти кількість таких трицифрових чисел, які діляться націло на 4, ми можемо використовувати правило ділення на 4. Це число повинно бути кратним 4, тобто останні дві цифри мають утворювати число, кратне 4. Існує 90 можливих комбінацій останніх двох цифр (від 00 до 99), і половина з них буде кратна 4. Отже, є 45 трицифрових чисел, які мають цю властивість.
2. Систему рівнянь x² + xy + xz = y, y² + yz + yx = z, z² + zx + zy = x можна розв'язати для x, y, та z. Почнемо, віднявши перше рівняння від другого: (y² + yz + yx) - (x² + xy + xz) = z - y. Це спрощується до рівності (y - x)(y + x + z) = (z - y). Аналогічно, інші два рівняння дають (z - y)(z + y + x) = (x - z) і (x - z)(x + z + y) = (y - x). Тепер ми маємо систему з трьох лінійних рівнянь і можемо розв'язати її для x, y та z.
3. Для того, щоб число 11^n - 1 було кратним 10^n - 1, число 11^n - 1 повинно бути кратним будь-якому цілому числу k, де 10^n - 1 = 9...9 (n дев'яток). Тобто, 11^n - 1 = k(9...9). Це означає, що 11^n - 1 повинно бути кратним 9. Тобто n повинно бути таким, щоб 11^n - 1 було кратним 9. Такі n - це натуральні числа виду n = 3, 6, 9, 12, і так далі. Тобто усі натуральні n, кратні 3, задовольняють цю властивість.
4. Петрик може визначити номер вершини, що найбільш віддалена від вершини з номером 5, враховуючи інформацію про три грані куба. Зауважте, що вершина 5 є спільною для всіх трьох граней, і тому вершина, що їй найбільш віддалена, також повинна бути спільною для цих трьох граней. Тобто вершина 5 і вершина, що найбільш віддалена від вершини 5, повинні бути протилежними вершинами куба.
5. Для доведення цієї рівності (кут BCQ = 1/2 кута PQA) вам, можливо, знадобиться використати геометричні властивості квадрата та взаємодію кутів. Розгляньте трикутники BCP та PQA, та спробуйте використовувати їхні кути та сторони для доведення даної рівності.