Question

Розв'язати систему рівнянь.

Answer 1

Ответ:

2;  -3;  -1

Объяснение:

Решить систему методом Крамера.

$\displaystyle \bf \begin{Bmatrix}\displaystyle \bf x_1+2x_2+5x_3=-9\\\displaystyle \bf x_1-x_2+3x_3=2\\\displaystyle \bf 3x_1-6x_2-x_3=25\end$

Определитель основной матрицы:

$\Delta=\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;5\\1\;\;-1\;\;\;\;\;3\\ 3\;\;-6\;-1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} -1\;\;\;\;3\\-6\;-1\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;3\\3\;-1\end{vmatrix}+5\cdot\begin{vmatrix}1\;\;-1\\3\;\;-6\end{vmatrix}=\\\\\\=1(1+18)-2(-1-9)+5(-6+3)=19+20-15=24\neq 0$

Δ ≠ 0 ⇒ можем применить формулу Крамера.

Найдем определитель $\Delta_x$.

Заменим первый столбец на столбец свободных членов:

$\Delta_x=\begin{vmatrix} -9\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;5\\\;2\;\;\;\;-1\;\;\;\;\;\;3\\ 25\;\;-6\;\;-1\end{vmatrix}=-9\cdot\begin{vmatrix} -1\;\;\;\;3\\-6\;-1\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix} 2\;\;\;\;\;3\\25\;-1\end{vmatrix}+5\cdot\begin{vmatrix}2\;\;-1\\25\;-6\end{vmatrix}=\\\\\\=-9(1+18)-2(-2-75)+5(-12+25)=-171+154+65=48$

Найдем определитель $\Delta_y$.

Заменим второй столбец на столбец свободных членов:

$\Delta_y=\begin{vmatrix} 1\;\;\;-9\;\;\;\;5\\1\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\\ 3\;\;\;\;\;25\;-1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 2\;\;\;\;\;3\\25\;-1\end{vmatrix}+9\cdot\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;3\\3\;-1\end{vmatrix}+5\cdot\begin{vmatrix}1\;\;\;2\\3\;\;25\end{vmatrix}=\\\\\\=1(-2-75)+9(-1-9)+5(25-6)=-77-90+95=-72$

Найдем определитель $\Delta_z$.

Заменим третий столбец на столбец свободных членов:

$\Delta_z=\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;\;2\;\;-9\\1\;\;-1\;\;\;\;\;2\\ 3\;\;-6\;\;\;\;25\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} -1\;\;\;\;2\\-6\;\;25\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;2\\3\;\;25\end{vmatrix}-9\cdot\begin{vmatrix}1\;\;-1\\3\;\;-6\end{vmatrix}=\\\\\\=1(-25+12)-2(25-6)-9(-6+3)=-13-38+27=-24$

Теперь по формуле Крамера получим ответ:

$\displaystyle \bf x_1=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{48}{24}=2;\;\;\; x_2=\frac{\Delta_y}{\Delta} =\frac{-72}{24}=-3; \;\;\;x_3=\frac{\Delta_z}{\Delta} =\frac{-24}{24}=-1.$