Пожалуйста помогите срочно!!!
Дана окружность с центром в точке O (2; -3) и диаметром 6, и прямая y = — x + 2.
Запишите уравнение окружности.
Найдите точки пересечения окружности и прямой.
Найдите точки пересечения прямой с осями координат.
Найдите точки пересечения окружности с осями координат.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
івняння окружності відомої своєму центру (h, k) і радіусу r виглядає так:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Підставляючи значення центра (h, k) і радіусу r:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2.
Після спрощення отримуємо рівняння окружності:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9.
Тепер знайдемо точки перетину цієї окружності і прямої y = -x + 2. Для цього підставимо вираз для y з рівняння прямої в рівняння окружності та розв'яжемо систему рівнянь.
(x - 2)^2 + (-x + 5)^2 = 9.
Поспрощуємо:
(x - 2)^2 + (x - 5)^2 = 9.
Розкриваємо дужки та спрощуємо рівняння:
x^2 - 4x + 4 + x^2 - 10x + 25 = 9.
Об'єднуємо подібні члени:
2x^2 - 14x + 20 = 9.
2x^2 - 14x + 20 - 9 = 0.
2x^2 - 14x + 11 = 0.
Зараз знайдемо розв'язки цього квадратного рівняння. Використаємо квадратну формулу:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
де a = 2, b = -14, і c = 11.
x = (14 ± √((-14)^2 - 4 * 2 * 11)) / (2 * 2).
x = (14 ± √(196 - 88)) / 4.
x = (14 ± √108) / 4.
x = (14 ± 6√3) / 4.
Тепер розділимо обидві сторони на 2:
x = 7 ± 3√3.
Таким чином, маємо два значення x для точок перетину з прямою.
Тепер знайдемо відповідні значення y, підставляючи x у рівняння прямої y = -x + 2:
Для x = 7 + 3√3:
y = -(7 + 3√3) + 2 = -7 - 3√3 + 2 = -5 - 3√3.
Для x = 7 - 3√3:
y = -(7 - 3√3) + 2 = -7 + 3√3 + 2 = -5 + 3√3.
Тепер маємо дві пари точок перетину:
(7 + 3√3, -5 - 3√3)
(7 - 3√3, -5 + 3√3)
Тепер знайдемо точки перетину прямої з осями координат.
Для знаходження точки перетину з осі X (y = 0), підставимо y = 0 у рівняння прямої:
0 = -x + 2.
x = 2.
Отже, точка перетину з осі X: (2, 0).
Для знаходження точки перетину з осі Y (x = 0), підставимо x = 0 у рівняння прямої:
y = -0 + 2.
y = 2.
Отже, точка перетину з осі Y: (0, 2).
Нарешті, знайдемо точки перетину окружності з осями координат.
З осі X (y = 0):
(x - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 9,
(x - 2)^2 + 9 = 9,
(x - 2)^2 = 0,
x - 2 = 0,
x = 2.
Отже, точка перетину з осі X: (2, 0).
З осі Y (x = 0):
(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9,
4 + (y + 3)^2 = 9,
(y + 3)^2 = 9 - 4,
(y + 3)^2 = 5,
y + 3 = ±√5,
y = -3 ± √5.
Отже, точки перетину з осі Y: (-3 + √5, 0) і (-3 - √5, 0).