Question

Помогите пожалуйста решить, подробнее пожалуйста ​,прошу вас

Answer 1

Ответ:

Ответы в тексте решения.

Объяснение:

Выпишем матрицу, столбцы которой образуют координаты данных векторов:

                                   $\left[\begin{matrix}5&4&1&3\\2&1&1&4\\-3&-2&-1&-1\\1&3&-2&2\end{matrix}\right].$

Нам нужно найти линейную зависимость столбцов матрицы, но работать мы будем со строчками. Имеется в виду следующее: если некоторая линейная комбинация векторов равна нулю, то нулю равна такая же линейная комбинация чисел любой строки матрицы. Если мы совершим элементарные преобразования над строчками матрицы, то в преобразованной матрице такая же линейная комбинация чисел любой строки также будет равна нулю. Верен и обратный результат. Поэтому наша задача с помощью таких преобразований настолько упростить матрицу, чтобы стало ясно, какие векторы можно включить в базис и как остальные векторы  выражаются через векторы базиса. Поработаем сначала с третьим столбцом (он самый простой). Добавим к первой строке третью строку, ко второй строке третью строку, вычтем из четвертой строки удвоенную третью:

                                         $\left[\begin{matrix}2&2&0&2\\-1&-1&0&3\\-3&-2&-1&-1\\7&7&0&4\end{matrix}\right].$

Разделив по ходу дела вторую строчку на 2 (мне лень переписывать матрицу после такого простого преобразования), я приступаю к деланию нулей в последнем столбце (из 2-й вычитаем утроенную 1-ю, к 3-й добаваляем первую, из 4-й вычитаем учетверенную первую:

                                          $\left[\begin{matrix}1&1&0&1\\-4&-4&0&0\\-2&-1&-1&0\\3&3&0&0\end{matrix}\right].$  

Делим вторую на минус 4, третью на 3, из одной вычитаем другую для обнуления; нулевую строчку отбрасываем:

                                             $\left[\begin{matrix}1&1&0&1\\1&1&0&0\\2&1&1&0\\\end{matrix}\right].$

Вычитаем вторую строчку из первой и третьей:

                                           $\left[\begin{matrix}0&0&0&1\\1&1&0&0\\1&0&1&0\end{matrix}\right].$

Линейная независимость второго, третьего и четвертого столбцов теперь очевидна, как и то, что первый столбец есть сумма второго и третьего.

Вывод: в качестве базиса можно взять

                                          $B[a_2;\ a_3;\ a_4].$

Не вошедший в базис первый вектор есть сумма

 

                                          $a_1=1\cdot a_2+1\cdot a_3+0\cdot a_4.$

Ранг системы векторов равен трем.