доведіть що відрізки які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника точкою перетину діляться навпіл ДАЮ 43 БАЛЛА
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Требуется доказать, что отрезки соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника точкой пересечения делятся пополам.
Информация. 1) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника:
- параллельна третьей стороне треугольника;
- длина средней линии треугольника равна половине этой стороны.
2) Признаки параллелограмма:
- две противолежащие стороны равны и параллельны;
- противолежащие стороны попарно равны;
- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть точки M, N, K и P середины сторон, соответственно, AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Проведём диагонали четырехугольника ABCD (см. рисунок).
По определению в треугольнике ABC отрезок MN - средняя линия, а значит MN = AC:2 и AC || MN. Далее, в треугольнике ADC отрезок PK - средняя линия, а значит PK = AC:2 и AC || PK. Значит, MN = PK и MN || PK.
Также, в ΔABD отрезок PM - средняя линия, отсюда PM = BD:2 и BD || PM. Но в ΔBDC отрезок NK средняя линия и поэтому NK = BD:2 иBD || NK. Тогда PM = NK va PM || NK.
Значит, в четырёхугольнике MNKP противоположные стороны равны и параллельны, откуда по признаку MNKP - параллелограмм. Тогда диагонали PN и MK параллелограмма точкой пересечения О делятся пополам, то есть отрезки PN и MK, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника точкой пересечения О делятся пополам.
Доказано.
#SPJ1
