Question

Знайти границі послідовності. n -->∞

Answer 1

Ответ:   $\bf \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n^{6}}=1$   .                

Найти предел последовательности  , общий член которой  $\bf a_{n}=\sqrt[n]{\bf n^6}$  

Докажем сначала, что   $\bf \lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[n]{\bf n}=1$   .

Найдём предварительно предел от логарифма :        

$\bf \lim\limits_{n \to \infty}\Big (ln\sqrt[n]{\bf n}\Big)= \lim\limits_{n \to \infty}\Big (ln\, n^{\frac{1}{n}}}\Big)= \lim\limits_{n \to \infty}\Big (\dfrac{1}{n}\cdot ln\, n\Big)= \lim\limits_{n \to \infty}\Big(\dfrac{ln\,n}{n}\Big)=$  

По правилу Лопиталя имеем :

$\bf = \lim\limits_{n \to \infty}\Big (\dfrac{\frac{1}{n}}{1}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{1}{n}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \lim\limits_{n \to \infty}\Big (ln\sqrt[n]{\bf n}\Big)=0$  

Знак предела и непрерывной функции можно менять местами , получим

$\bf \lim\limits_{n \to \infty}\Big (ln\sqrt[n]{\bf n}\Big)=ln\ \Big(\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n}\,\Big)=0$  

По свойству логарифма , если   $\bf ln\ a=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a=1$  .

Поэтому из того, что  $\bf \bf ln\ \Big(\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n}\,\Big)=0$  следует, что  $\bf \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n}=1$  .

Исходя из этого доказывается, что   $\bf \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n^{k}}=1$   .

Найдём предел последовательности    $\bf \{\ \sqrt[n]{\bf n^{6}}\ \}$   .

 $\bf \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\bf n^{6}}=1$  .