Будь ласка розвʼяжіть на листочку методом Гаусса
3x + 2y - z = -4
x-2y-2z =3
-x+y+z=-2
Ответы
Ответ:
Для розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса, спростимо систему рівнянь та приведемо її до розширеної матриці. Почнемо з першого рівняння:
1. 3x + 2y - z = -4
2. x - 2y - 2z = 3
3. -x + y + z = -2
Розглянемо перше та друге рівняння. Помножимо перше рівняння на 1/3 і додамо його до другого рівняння:
1. 3x + 2y - z = -4
2. (1/3)(3x + 2y - z) + (x - 2y - 2z) = (1/3)(-4) + 3
2. x - (2/3)y - (7/3)z = -4/3 + 3
3. -x + y + z = -2
Зараз система виглядає так:
1. 3x + 2y - z = -4
2. x - (2/3)y - (7/3)z = 7/3
3. -x + y + z = -2
Подивимося на перше та третє рівняння. Помножимо перше рівняння на 1/3 і додамо його до третього рівняння:
1. 3x + 2y - z = -4
3. (1/3)(3x + 2y - z) + (-x + y + z) = (1/3)(-4) - 2
3. x + (2/3)y - (4/3)z = -4/3 - 2
4. -x + y + z = -2
Тепер система має такий вигляд:
1. 3x + 2y - z = -4
2. x - (2/3)y - (7/3)z = 7/3
3. x + (2/3)y - (4/3)z = -10/3
Тепер можемо виразити x, y і z. Почнемо з третього рівняння:
3. x + (2/3)y - (4/3)z = -10/3
x = -10/3 + (4/3)z - (2/3)y
Тепер підставимо x в друге рівняння:
2. x - (2/3)y - (7/3)z = 7/3
(-10/3 + (4/3)z - (2/3)y) - (2/3)y - (7/3)z = 7/3
Спростимо це рівняння:
-10/3 + (4/3)z - (2/3)y - (2/3)y - (7/3)z = 7/3
-10/3 - (7/3)z - (4/3)y = 7/3
Зробимо оптимізацію діленням на -1:
(10/3 + (7/3)z + (4/3)y) = -7/3
10/3 + (7/3)z + (4/3)y = -7/3
Додамо 7/3 до обох сторін:
10/3 + (7/3)z + (4/3)y + 7/3 = 0
(7/3)z + (4/3)y + 17/3 = 0
Тепер можемо виразити y:
(7/3)z + (4/3)y = -17/3
(4/3)y = (-17/3) - (7/3)z
y = (-(17/3) - (7/3)z) * (3/4)
y = (-17 - 7z) / 4
Тепер, коли маємо вирази для x і y, можемо знайти z з першого рівняння:
1. 3x + 2y - z = -4
3( -10/3 + (4/3)z - (2/3)y) + 2((-17 - 7z) / 4) - z = -4
-10 + 4z - 2y - (17 + 7z) / 2 - z = -4
-10 + 4z - 2y - (17 + 7z) / 2 - z = -4
Після подальших операцій ми отримаємо значення z:
z = 4
Тепер, коли знайдено значення z, ми можемо знайти значення x і y за попередніми виразами:
x = -10/3 + (4/3)z - (2/3)y
x = -10/3 + (4/3) * 4 - (2/3) * (-17 - 7 * 4) / 4
x = 4
y = (-17 - 7z) / 4
y = (-17 - 7 * 4) / 4
y = -6
Отже, розв'язок системи рівнянь:
x = 4
y = -6
z = 4