Розвʼяжи завдання методом Гаусса
3x + 2y - z = -4
x-2y-2z =3
-x+y+z=-2
Ответы
Для розв'язання даної системи лінійних рівнянь методом Гаусса, спершу запишемо систему у розширеній матричній формі і виконаємо послідовні операції над рядками матриці, щоб знайти рішення:
Початкова система рівнянь:
3x + 2y - z = -4
x - 2y - 2z = 3
-x + y + z = -2
Запишемо її у вигляді розширеної матриці:
css
Copy code
[ 3 2 -1 | -4 ]
[ 1 -2 -2 | 3 ]
[ -1 1 1 | -2 ]
Крок 1: Переведемо перший рядок у відповідний ступінчастий вигляд, поділивши його на 3:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 1 -2 -2 | 3 ]
[ -1 1 1 | -2 ]
Крок 2: Віднімемо перший рядок від другого рядка:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 0 -8/3 -5/3 | 13/3 ]
[ -1 1 1 | -2 ]
Крок 3: Додамо перший рядок до третього рядка:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 0 -8/3 -5/3 | 13/3 ]
[ 0 5/3 2/3 | -10/3 ]
Крок 4: Поділимо другий рядок на -8/3, щоб отримати коефіцієнт 1 перед x:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 0 1 5/8 | -13/8 ]
[ 0 5/3 2/3 | -10/3 ]
Крок 5: Віднімемо 2/3 другого рядка від третього рядка:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 0 1 5/8 | -13/8 ]
[ 0 0 1/8 | 1/8 ]
Крок 6: Поділимо третій рядок на 1/8, щоб отримати коефіцієнт 1 перед z:
css
Copy code
[ 1 2/3 -1/3 | -4/3 ]
[ 0 1 5/8 | -13/8 ]
[ 0 0 1 | 1 ]
Крок 7: Використаємо зворотні підстановки для знаходження значень x, y і z. Почнемо з останнього рядка:
З третього рядка маємо z = 1.
Потім з другого рядка отримуємо y:
y + (5/8)z = -13/8
y + (5/8)(1) = -13/8
y + 5/8 = -13/8
y = -13/8 - 5/8
y = -18/8
y = -9/4
Нарешті, з першого рядка отримуємо x:
x + (2/3)y - (1/3)z = -4/3
x + (2/3)(-9/4) - (1/3)(1) = -4/3
x - 6/4 - 1/3 = -4/3
x - 3/2 - 1/3 = -4/3
x - 9/6 - 2/6 = -12/6
x - 11/6 = -12/6
x = -12/6 + 11/6
x = -1/6
Отже, рішення системи рівнянь методом Гаусса є:
x = -1/6
y = -9/4
z = 1