Question

QA1A₂ A3- пирамида A1(2;4;6) А3 (6,8,13) A 2 (4;7:12) Q (14; -4, -18) 1) Найти ур. пло-ти А1A2A3 2) Написать ур. ребра А2 А3 3)найти длину высоты h

Answer 1

1) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x – xA             y – yA             z – zA

xB – xA          yB – yA         zB – zA

xC – xA          yC – yA         zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 2           y – 4            z – 6

4 – 2          7 – 4           12 – 6

6 – 2          8 – 4            13 - 6 = 0

x – 2          y – 4              z – 6

  2                   3                   6

  4                  4                    7 = 0

(x – 2)(3·7-6·4) –(y – 4)(2·7-6·4) +(z - 6)(2·4-3·4) = 0.

(-3)(x – 2) + 10(y – 4) + (-4)(z - 6) = 0.

Получаем уравнение плоскости А1А2А3:

- 3x + 10y - 4z - 10 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х

3x - 10y + 4z + 10 = 0.

2) Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

(x - xa)/(xb - xa) = (y - ya)/(yb - ya)( z - za)/(zb - za).

Подставим в формулу координаты точек:

(x – 4)/(6 – 4) = (y – 7)/(8 – 7) = (z – 12)/(13 – 12).

В итоге получено каноническое уравнение прямой А2А3:

(x – 4)/2 =(y – 7)/1 = (z – 12)/1.

3) Длина высоты h равна расстоянию от точки Q (14; -4, -18) до плоскости А1А2А3: 3x - 10y + 4z + 10 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A2 + B2 + C2)

Подставим в формулу данные:

d = |3·14 + (-10)·(-4) + 4·(-18) + 10|/√(32 + (-10)2 + 42) = |42 + 40 - 72 + 10|/√(9 + 100 + 16) =

= 20/√125 = 0.8·√5 ≈ 1.788854.