Question

даю 50 баллов
1)доведіть нерівність (х-1)(х+2)>(х-2)(х+3)
2) доведіть нерівність х²-8х+17>0
3) доведіть нерівність (а + 1)(b + 4)(а+b)≥16ab, якщо a ≥ 0, b ≥ 0 ​

Answer 1

1) Давайте розглянемо нерівність (x - 1)(x + 2) > (x - 2)(x + 3) і спростимо її:

Розкриємо дужки:
x^2 + 2x - x - 2 > x^2 + 3x - 2x - 6

Скоротимо подібні доданки:
x^2 + x - 2 > x^2 + x - 6

Тепер віднімемо вираз (x^2 + x) від обох сторін нерівності:
-2 > -6

Ця нерівність є правильною, оскільки -2 дійсно більше -6. Отже, вихідна нерівність (x - 1)(x + 2) > (x - 2)(x + 3) виконується для всіх значень x.

2) Тепер давайте розглянемо нерівність x^2 - 8x + 17 > 0. Для цього скористаємося дискримінантом квадратного рівняння x^2 - 8x + 17:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(17) = 64 - 68 = -4

Дискримінант менше нуля, що означає, що квадратне рівняння x^2 - 8x + 17 не має розв'язків у дійсних числах. Отже, x^2 - 8x + 17 завжди залишається більшим за нуль, і нерівність x^2 - 8x + 17 > 0 виконується для всіх значень x.

3) Для доведення нерівності (a + 1)(b + 4)(a + b) ≥ 16ab, враховуючи умови a ≥ 0 і b ≥ 0, спростимо її:

(a + 1)(b + 4)(a + b) ≥ 16ab

Розкриємо дужки:
ab^2 + 4ab + a^2b + ab + 4b + 4a + ab^2 + 4ab ≥ 16ab

Скоротимо подібні доданки:
2ab^2 + 4a^2b + 4b + 4a ≥ 16ab

Тепер віднімемо 16ab від обох сторін нерівності:
2ab^2 + 4a^2b + 4b + 4a - 16ab ≥ 0

Поділимо всі доданки на 2:
ab^2 + 2a^2b + 2b + 2a - 8ab ≥ 0

Зараз можемо факторизувати деякі доданки:
ab(b - 4) + 2a(a - 4) ≥ 0

Тепер ми бачимо, що (a - 4) та (b - 4) - це додатні числа, оскільки a ≥ 0 і b ≥ 0. Тому ми маємо:

ab(b - 4) + 2a(a - 4) ≥ 0

Оскільки всі доданки додатні, то нерівність виконується для всіх значень a ≥ 0 і b ≥ 0.