Question

Допоможіть! 30 балів!

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация. Формулы сокращённого умножения:

a) (a+b)² = a²+2·a·b+b²;

b) a³+b³ = (a+b)·(a²-a·b+b²);

c) (a-b)² = a²-2·a·b+b².

Решение. При упрощении выражениях применим формулы сокращённого умножения и преобразования.

1) Требуется доказать, что при всех допустимых значениях х значение выражения

$\tt \displaystyle \bigg ( \frac{3}{x^2-x+1}+\frac{x^2-x-2}{x^3+1} \bigg):\frac{1+x}{x^2-x+1}$

не зависит от значения х.

Покажем, что результат выражения - это число, то есть результат не зависит от х.

$\tt \displaystyle \bigg ( \frac{3}{x^2-x+1}+\frac{x^2-x-2}{x^3+1} \bigg):\frac{1+x}{x^2-x+1}=\\\\=\bigg ( \frac{3}{x^2-x+1}+\frac{x^2-x-2}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} \bigg) \cdot \frac{x^2-x+1}{1+x}=\\\\=\bigg ( \frac{3 \cdot (x^2-x+1)}{x^2-x+1}+\frac{(x^2-x-2) \cdot (x^2-x+1)}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=\\\\=\bigg (3+\frac{x^2-x-2 }{x+1} \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=\bigg (3+\frac{x^2-1-x-1 }{x+1} \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=$

$\tt \displaystyle =\bigg (3+\frac{(x+1) \cdot (x-1)-(x+1) }{x+1} \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=\\\\=\bigg (3+\frac{(x+1) \cdot (x-1-1) }{x+1} \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=\bigg (3+x-2 \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=\\\\=\bigg (1+x \bigg) \cdot \frac{1}{1+x}=1,$

а последнее означает при всех допустимых значениях выражение не зависит от х.

2) Требуется доказать тождество:

$\tt \displaystyle \frac{12 \cdot x+(3 \cdot x-1)^2}{(3 \cdot x+1)^2}=1.$

Покажем, что числитель выражения равен знаменателю.

12·x+(3·x-1)² = 12·x+(3·x)²-2·3·x·1+1² = 12·x+(3·x)²-6·x+1² = \\

= (3·x)²+6·x+1² = (3·x)²+2·3·x·1+1² = (3·x+1)².

Поэтому

$\tt \displaystyle \frac{12 \cdot x+(3 \cdot x-1)^2}{(3 \cdot x+1)^2}=\frac{(3 \cdot x+1)^2}{(3 \cdot x+1)^2}=1,$

что и требовалось доказать.

#SPJ1