Question

100 б., развёрнутый ответ!

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁
на рёбрах B₁C₁ и C₁D₁ соответственно находятся точки M и N так, что B₁N:NC₁ = 1:3, а C₁M:MD₁ = 1:1.
Определи косинус угла α между прямыми BN и CM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

cosα=

Answer 1

Ответ:

Для определения косинуса угла α между прямыми BN и CM, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Сначала найдем вектора BN и CM, а затем используем формулу для косинуса угла между векторами.

Давайте начнем с нахождения векторов BN и CM. Поскольку B₁N:NC₁ = 1:3, мы можем сказать, что вектор BN равен 1/4 вектора B₁C₁, а вектор CM равен 1/2 вектора C₁D₁.

Тепер найдем вектор B₁C₁, который равен вектору вдоль одной из сторон куба, например, вдоль стороны BC, и он равен [1, 0, 0] (потому что ребро куба равно 1).

Тепер найдем вектор C₁D₁, который также равен вектору вдоль одной из сторон куба, например, вдоль стороны CD, и он равен [0, 0, 1].

Тепер, у нас есть векторы BN и CM:

BN = (1/4) * [1, 0, 0] = [1/4, 0, 0]

CM = (1/2) * [0, 0, 1] = [0, 0, 1/2]

Тепер мы можем найти скалярное произведение векторов BN и CM:

BN * CM = [1/4, 0, 0] * [0, 0, 1/2] = (1/4) * 0 + 0 * 0 + 0 * (1/2) = 0

Тепер используем формулу для косинуса угла α между векторами:

cosα = (BN * CM) / (|BN| * |CM|)

|BN| - длина вектора BN, равна корню из суммы квадратов его компонент: |BN| = √((1/4)² + 0² + 0²) = 1/4

|CM| - длина вектора CM, равна корню из суммы квадратов его компонент: |CM| = √(0² + 0² + (1/2)²) = 1/2

Тепер подставим значения в формулу:

cosα = (0) / ((1/4) * (1/2)) = 0 / (1/8) = 0

Таким образом, косинус угла α между прямыми BN и CM равен 0.