Question

4. На бісектрисі AL трикутника ABC вибрано точку D. Відомо, що
<BAC = 2a, <ADC = 3a, ZACB = 4a. Доведіть, що ВС+CD = AB.
​

Answer 1

Для доведення рівності BC + CD = AB розглянемо два трикутники: ABC і ADC.

Ми знаємо, що внутрішні кути трикутника додаються до 180 градусів. Тобто, ми маємо такі співвідношення:

1. 2. 3. 4.
Підставимо значення кутів у рівняння (1):

2a + 3a + 4a +
Отримаємо:

9a +
Тепер можемо знайти величину кута

Тепер розглянемо рівності у трикутнику ABC:

1. 2. 3. 4.
Тепер звернімо увагу на трикутник ADC. Знаючи, що внутрішні кути трикутника додаються до 180 градусів, ми можемо записати:

1. 2. 3. 4.
Тепер ми можемо записати рівності у трикутнику ADC:

1. 2. 3a + 9a + (180 градусів - 12a) = 180 градусів

Зведемо підобидвіння:

12a - 12a = 0

Це підтверджує, що наші рівності в трикутнику ADC правильні.

Тепер ми знаємо, що кути в трикутниках ABC і ADC відповідають умові. Далі ми можемо використовувати закон синусів для трикутника ADC:

(AB / sin(ADC)) = (CD / sin(ACD))

Підставляючи величини кутів, які ми знайшли раніше, ми отримаємо:

(AB / sin(3a)) = (CD / sin(9a))

Тепер ми можемо виразити CD:

CD = (AB * sin(9a)) / sin(3a)

Тепер, щоб довести, що BC + CD = AB, додаймо BC до обох сторін:

BC + CD = BC + (AB * sin(9a)) / sin(3a)

Тепер ми можемо використовувати закон синусів для трикутника ABC:

(BC / sin(ACB)) = (AB / sin(ABC))

Підставляючи величини кутів, які ми знайшли раніше, ми отримаємо:

(BC / sin(9a)) = (AB / sin(7a))

Тепер ми можемо виразити BC:

BC = (AB * sin(9a)) / sin(7a)

Порівнюючи вирази для BC і CD, ми бачимо, що вони обидва дорівнюють (AB * sin(9a)) / sin(7a).

Отже, ми довели, що BC + CD = AB.