Знайдіть нулі:(х²-4х-21)/7
Знайти min i max функції:y=11-√16-x²
Ответы
Объяснение:
1. Щоб знайти нулі функції (х²-4х-21)/7, спочатку поділімо чисельник на 7:
(х²-4х-21)/7 = (1/7) * (х²-4х-21)
Тепер знайдемо нулі, прирівнюючи чисельник до нуля:
(х²-4х-21)/7 = 0
Тепер розв'яжемо рівняння:
х² - 4х - 21 = 0
Можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження нулів. Використовуючи дискримінант (D = b² - 4ac):
D = (-4)² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100
Так як D > 0, то рівняння має два дійсних корені. Використаємо квадратну формулу:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (4 + √100) / 2 = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (4 - √100) / 2 = (4 - 10) / 2 = -6 / 2 = -3
Таким чином, нулі функції це x₁ = 7 і x₂ = -3.
2. Щоб знайти мінімум і максимум функції y = 11 - √(16 - x²), спочатку знайдемо область визначення функції. Оскільки у нас є корінь з виразу (16 - x²), то цей вираз повинен бути більший або рівний нулю:
16 - x² ≥ 0
Тепер знайдемо значення x, які задовольняють цю нерівність:
x² ≤ 16
x² - 16 ≤ 0
(x - 4)(x + 4) ≤ 0
Розв'яжемо цю нерівність, розглядаючи знаки на інтервалах між -4, 4 та поза ними:
-∞---(-4)---4---(∞)
+ - + -
Таким чином, нерівність (x - 4)(x + 4) ≤ 0 виконується на інтервалах (-4, 4) і включає точки -4 і 4.
Тепер знайдемо мінімум і максимум функції на цих інтервалах.
Мінімум і максимум функції відбуваються, коли похідна функції y' = d(11 - √(16 - x²))/dx дорівнює нулю.
Знайдемо похідну:
y' = -1/2 * (16 - x²)^(-1/2) * (-2x) = x / √(16 - x²)
Тепер прирівняємо до нуля:
x / √(16 - x²) = 0
Оскільки x не може дорівнювати нулю, рівняння має одне рішення x = 0.
Тепер знайдемо значення y на кінцях і в цьому рішенні:
y(4) = 11 - √(16 - 4²) = 11 - √(16 - 16) = 11 - 0 = 11
y(-4) = 11 - √(16 - (-4)²) = 11 - √(16 - 16) = 11 - 0 = 11
y(0) = 11 - √(16 - 0) = 11 - √16 = 11 - 4 = 7
Таким чином, мінімум функції в точці (0, 7), і максимум функції на інших точках на границі області визначення - (4, 11) і (-4, 11).